Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042259

Биссектриса $LN$ проведена из вершины $L$, точка $N$ лежит на стороне $KM$. Обозначу $LM=x$, $NK=y$.

Свойство биссектрисы: $\dfrac{KN}{NM}=\dfrac{KL}{LM}$, то есть $\dfrac y9=\dfrac{24}{x}$ и $xy=24\cdot9=216$.

Второе уравнение даёт формула квадрата биссектрисы: $LN^2=KL\cdot LM-KN\cdot NM$. Подставляю: $576=24x-9y$.

Из первого уравнения $y=\dfrac{216}{x}$. Тогда $576=24x-\dfrac{1944}{x}$. Умножаю на $x$ и делю на $24$:

$$24x=x^2-81\quad\Rightarrow\quad x^2-24x-81=0.$$

Дискриминант: $D=24^2+4\cdot81=576+324=900$, $x=\dfrac{24\pm30}{2}$. Длина положительна, поэтому $x=27$, а $y=\dfrac{216}{27}=8$.

Периметр треугольника $LMN$: $LN+LM+MN=24+27+9=60$.

Проверка другим способом. Треугольник $KLN$ равнобедренный ($KL=LN=24$), поэтому высота $LP$ из $L$ падает в середину $KN$: $KP=PN=4$. Тогда $LP^2=24^2-4^2=560$.

В прямоугольном треугольнике $LPM$: $PM=PN+NM=4+9=13$ и $LM^2=LP^2+PM^2=560+169=729$, $LM=27$ — совпало. Отношение $KN:NM=8:9$ равно $KL:LM=24:27$ — свойство биссектрисы выполнено.