Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042258

Обозначу $KL=LE=x$ и $LM=y$. Точка $E$ лежит на стороне $KM$, точка $O$ — на отрезке $LE$.

В треугольнике $KLE$ отрезок $KO$ — биссектриса угла $K$ (он лежит на биссектрисе $KF$). По свойству биссектрисы она делит противоположную сторону $LE$ в отношении прилежащих сторон:

$$\dfrac{LO}{OE}=\dfrac{KL}{KE}\quad\Rightarrow\quad 3=\dfrac{x}{KE}\quad\Rightarrow\quad KE=\dfrac x3.$$

В треугольнике $KLM$ биссектриса $LE$ делит сторону $KM$: $\dfrac{KE}{EM}=\dfrac{KL}{LM}=\dfrac xy$, откуда $EM=KE\cdot\dfrac yx=\dfrac y3$.

Формула квадрата биссектрисы: квадрат биссектрисы равен произведению сторон, между которыми она проходит, минус произведение отрезков, на которые она делит третью сторону: $LE^2=KL\cdot LM-KE\cdot EM$. Подставляю:

$$x^2=xy-\dfrac x3\cdot\dfrac y3=\dfrac{8xy}{9}\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{8y}{9}.$$

Периметр: сторона $KM$ складывается из $KE$ и $EM$, поэтому $x+y+\dfrac x3+\dfrac y3=\dfrac43(x+y)=34$, откуда $x+y=\dfrac{102}{4}=\dfrac{51}{2}$.

Подставляю $x=\dfrac{8y}{9}$: $\dfrac{17y}{9}=\dfrac{51}{2}$, $y=\dfrac{51\cdot9}{2\cdot17}=\dfrac{27}{2}=13{,}5$.

Проверка. Стороны: $LM=13{,}5$, $KL=x=\dfrac{8}{9}\cdot13{,}5=12$, $KM=\dfrac{12+13{,}5}{3}=8{,}5$; периметр $12+13{,}5+8{,}5=34$ — верно.

Отрезки стороны $KM$: $KE=4$, $EM=4{,}5$; отношение $4:4{,}5=12:13{,}5$ совпадает с $KL:LM$. Биссектриса: $LE^2=12\cdot13{,}5-4\cdot4{,}5=162-18=144$, $LE=12=KL$ — верно. И $\dfrac{LO}{OE}=\dfrac{KL}{KE}=\dfrac{12}{4}=3$ — верно.