Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042257

Обозначу стороны $a=6$, $b=3$, третью сторону — $c$, а высоты к ним — $h_a$, $h_b$, $h_c$. Все высоты связаны с одной площадью $S$: $S=\dfrac12ah_a=\dfrac12bh_b=\dfrac12ch_c$.

Отсюда каждая высота выражается через площадь: $h_a=\dfrac{2S}{6}=\dfrac S3$, $h_b=\dfrac{2S}{3}$, $h_c=\dfrac{2S}{c}$.

Записываю условие $h_c=\dfrac{h_a+h_b}{2}$:

$$\dfrac{2S}{c}=\dfrac12\left(\dfrac S3+\dfrac{2S}{3}\right)=\dfrac12\cdot S=\dfrac S2.$$

Площадь треугольника не равна нулю, поэтому делю обе части на $S$: $\dfrac2c=\dfrac12$, откуда $c=4$.

Проверка. Треугольник со сторонами $6$, $3$, $4$ существует: $3+4=7\gt6$. Его площадь по формуле Герона: $p=\dfrac{13}{2}$, $S=\sqrt{\dfrac{13}{2}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac72\cdot\dfrac52}=\dfrac{\sqrt{455}}{4}$.

Высоты: $h_a=\dfrac{2S}{6}=\dfrac{\sqrt{455}}{12}$, $h_b=\dfrac{2S}{3}=\dfrac{\sqrt{455}}{6}$, их полусумма $\dfrac12\cdot\dfrac{3\sqrt{455}}{12}=\dfrac{\sqrt{455}}{8}$, а $h_c=\dfrac{2S}{4}=\dfrac{\sqrt{455}}{8}$ — равны.