Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042254

Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $A$, $AD$ — биссектриса прямого угла, $BD=15$, $DC=20$. Тогда гипотенуза $BC=15+20=35$.

Свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Отрезок $BD$ прилегает к катету $AB$, отрезок $DC$ — к катету $AC$:

$$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac34.$$

Обозначу $AB=3x$, $AC=4x$. Теорема Пифагора: $(3x)^2+(4x)^2=35^2$, то есть $25x^2=1225$, $x^2=49$, $x=7$.

Катеты: $AB=3\cdot7=21$, $AC=4\cdot7=28$. Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов:

$$S=\dfrac12\cdot21\cdot28=294.$$

Проверка: $21^2+28^2=441+784=1225=35^2$, и $\dfrac{21}{28}=\dfrac34=\dfrac{15}{20}$ — оба условия выполнены. Второй способ подсчёта площади: $S=\dfrac{3x\cdot4x}{2}=6x^2=6\cdot49=294$ — то же число.