Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042253

Обозначу $KN=x$, тогда $MN=x+2$. Известен угол при вершине $M$: он лежит между сторонами $MK=6$ и $MN=x+2$, а напротив него — сторона $KN=x$.

Теорема косинусов для стороны $KN$:

$$x^2=(x+2)^2+6^2-2\cdot6\cdot(x+2)\cdot\dfrac35.$$

Раскрываю скобки: $x^2=x^2+4x+4+36-\dfrac{36}{5}(x+2)$.

Слагаемые $x^2$ взаимно уничтожаются: $0=4x+40-\dfrac{36x}{5}-\dfrac{72}{5}$. Умножаю на $5$: $0=20x+200-36x-72$, то есть $16x=128$ и $x=8$.

Стороны треугольника: $KM=6$, $KN=8$, $MN=10$. Сравниваю квадраты: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$. По теореме, обратной теореме Пифагора, угол $K$ прямой, а $KM$ и $KN$ — катеты.

$$S=\dfrac12\cdot KM\cdot KN=\dfrac12\cdot6\cdot8=24.$$

Проверка другим способом — через синус угла $M$: $\sin\angle KMN=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac45$, и $S=\dfrac12\cdot MK\cdot MN\cdot\sin\angle KMN=\dfrac12\cdot6\cdot10\cdot\dfrac45=24$. Косинус угла $M$ в прямоугольном треугольнике: $\dfrac{MK}{MN}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$ — как в условии.