Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042251

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с вершиной $C$: $CA=CB=4$, $\angle C=120^\circ$. Медиана $AM$ проведена к боковой стороне $BC$, поэтому $M$ — середина $BC$ и $CM=2$.

В треугольнике $AMC$ известны две стороны $CA=4$, $CM=2$ и угол между ними $\angle C=120^\circ$. Третью сторону $AM$ даёт теорема косинусов:

$$AM^2=CA^2+CM^2-2\cdot CA\cdot CM\cdot\cos120^\circ.$$

Так как $\cos120^\circ=-\dfrac12$, получаю:

$$AM^2=16+4-2\cdot4\cdot2\cdot\left(-\dfrac12\right)=20+8=28.$$

Проверю координатами. Пусть $C=(0;0)$, $A=(4;0)$, а точка $B$ лежит на луче под углом $120^\circ$ к оси: $B=\left(-2;\,2\sqrt3\right)$. Середина $BC$: $M=\left(-1;\,\sqrt3\right)$. Тогда $AM^2=(4+1)^2+\left(\sqrt3\right)^2=25+3=28$ — совпадает.