Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042250

Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы: $AC=2BM=20\sqrt3$, и $AM=MC=BM=10\sqrt3$.

Точка $T$ делит гипотенузу в отношении $1:3$, то есть на $4$ части, одна часть $\dfrac{20\sqrt3}{4}=5\sqrt3$. Значит, $AT=5\sqrt3$.

Точка $T$ лежит на стороне $AM$ треугольника $ABM$ (ведь $AT=5\sqrt3\lt AM=10\sqrt3$), поэтому $TM=AM-AT=10\sqrt3-5\sqrt3=5\sqrt3$.

Пусть окружность касается $AB$ в точке $K$ и $BM$ в точке $N$. Отрезки касательных из одной точки равны: $AK=AT=5\sqrt3$, $MN=MT=5\sqrt3$, а $BK=BN=BM-MN=10\sqrt3-5\sqrt3=5\sqrt3$.

Катет $AB=AK+KB=5\sqrt3+5\sqrt3=10\sqrt3$.

Второй катет по теореме Пифагора:

$$BC^2=AC^2-AB^2=\left(20\sqrt3\right)^2-\left(10\sqrt3\right)^2=1200-300=900,\qquad BC=30.$$

Проверю по-другому. Получилось $AB=BM=AM=10\sqrt3$ — треугольник $ABM$ равносторонний, и вписанная окружность касается $AM$ в её середине: $AT=5\sqrt3$, $TC=20\sqrt3-5\sqrt3=15\sqrt3$, отношение $1:3$ — как в условии. В равностороннем треугольнике $\angle A=60^\circ$, поэтому $BC=AB\cdot\operatorname{tg}60^\circ=10\sqrt3\cdot\sqrt3=30$ — то же самое.