Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042249

Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому $BM=AM=MC=\dfrac{20}{2}=10$.

По условию $BP:PM=3:2$, то есть медиана разбита на $3+2=5$ равных частей, одна часть $10:5=2$. Значит, $BP=6$, $PM=4$.

Пусть вписанная окружность треугольника $ABM$ касается сторон $AB$ и $AM$ в точках $N$ и $Q$. Отрезки касательных из одной точки равны:

$$BN=BP=6,\qquad MQ=MP=4,\qquad AN=AQ.$$

Сторона $AM=10$, поэтому $AQ=AM-MQ=10-4=6$, и $AN=6$.

Катет $AB=AN+NB=6+6=12$.

Второй катет по теореме Пифагора: $BC^2=AC^2-AB^2=400-144=256$, $BC=16$.

Проверю формулой отрезка касательной: в треугольнике отрезок касательной из вершины равен полусумме двух сторон, выходящих из этой вершины, минус половина третьей стороны. Для вершины $B$ треугольника $ABM$: $BP=\dfrac{AB+BM-AM}{2}=\dfrac{12+10-10}{2}=6$ — совпадает, и $PM=10-6=4$, отношение $6:4=3:2$.