Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042248

Гипотенуза — $MK$, значит, прямой угол — $P$. Пусть $A$ и $B$ — точки касания окружности с катетом $MP$ и гипотенузой $MK$.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: $PA=PH=4$, $KB=KH=12$, $MA=MB$. Обозначу $MA=MB=x$.

Тогда $PK=4+12=16$, $MP=x+4$, $MK=x+12$. Теорема Пифагора:

$$(x+12)^2=16^2+(x+4)^2.$$

Раскрываю скобки: $x^2+24x+144=256+x^2+8x+16$, откуда $16x=128$, $x=8$. Значит, $MP=12$, $MK=20$.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому луч $MO$, а с ним и $MC$, — биссектриса угла $M$.

Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\dfrac{CP}{CK}=\dfrac{MP}{MK}=\dfrac{12}{20}=\dfrac35.$$

На катет $PK=16$ приходится $3+5=8$ частей, одна часть равна $2$. Тогда $CP=3\cdot2=6$.

Проверю через тангенс. Радиус $OA$ перпендикулярен $MP$, и $OA=PA=4$: четырёхугольник $APHO$ — квадрат, ведь угол $P$ прямой. В прямоугольном треугольнике $MAO$: $\operatorname{tg}\angle AMO=\dfrac{OA}{MA}=\dfrac48=\dfrac12$. В прямоугольном треугольнике $MPC$ тот же угол: $\operatorname{tg}\angle PMC=\dfrac{CP}{MP}=\dfrac{CP}{12}$. Значит, $CP=12\cdot\dfrac12=6$ — совпадает.