Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042247

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, поэтому диаметр равен гипотенузе. Ищу гипотенузу.

Пусть $ABC$ — треугольник с прямым углом $C$, $CH$ — высота к гипотенузе $AB$, катет $CB=20$. Проекция другого катета $CA$ на гипотенузу — отрезок $AH=9$. Обозначу проекцию катета $CB$: $BH=x$, тогда $AB=x+9$.

Треугольники $CHB$ и $ACB$ подобны: оба прямоугольные и имеют общий острый угол $B$. Из подобия катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё:

$$\dfrac{CB}{BH}=\dfrac{AB}{CB}\ \Rightarrow\ CB^2=BH\cdot AB.$$

Подставляю: $400=x(x+9)$, то есть $x^2+9x-400=0$.

Дискриминант $D=81+1600=1681=41^2$, корни $x=\dfrac{-9+41}{2}=16$ и $x=\dfrac{-9-41}{2}=-25$. Отрицательный корень не подходит, значит, $BH=16$.

Гипотенуза $AB=16+9=25$, и диаметр описанной окружности равен $25$.

Проверю по-другому. Из треугольника $CHB$: $CH^2=20^2-16^2=400-256=144$, $CH=12$. Высота из прямого угла — среднее пропорциональное проекций: $AH\cdot BH=9\cdot16=144$ — совпадает. Второй катет $CA=\sqrt{9^2+12^2}=15$, и $15^2+20^2=625=25^2$ — верно.