Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042246

Сначала выясню, где лежит основание высоты $D$ — на отрезке $AC$ или на его продолжении. Это зависит от того, острый ли угол $A$.

Теорема косинусов для стороны $BC$, лежащей против угла $A$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A,$$

$$16=9+4-2\cdot3\cdot2\cdot\cos A\ \Rightarrow\ 12\cos A=13-16=-3\ \Rightarrow\ \cos A=-\dfrac{1}{4}.$$

Косинус отрицательный, значит, угол $A$ тупой, и высота $BD$ падает на продолжение стороны $CA$ за точку $A$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ угол при вершине $A$ смежный с углом $BAC$, поэтому его косинус равен $\dfrac{1}{4}$.

Катет $AD$ прилежит к этому углу, а $AB$ — гипотенуза, поэтому

$$AD=AB\cdot\dfrac14=3\cdot\dfrac14=\dfrac34=0{,}75.$$

Проверю через теорему Пифагора. Точка $A$ лежит между $C$ и $D$, так что $CD=2+AD$. Обозначу $AD=x$ и запишу квадрат высоты из двух прямоугольных треугольников $ABD$ и $CBD$:

$$BD^2=3^2-x^2=4^2-(2+x)^2.$$

Раскрываю: $9-x^2=16-4-4x-x^2$, то есть $9=12-4x$, откуда $x=\dfrac34$ — то же самое.