Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042245

Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Обозначу первый катет через $x$. По условию медиана равна $x-0{,}5$, а гипотенуза вдвое длиннее медианы:

$$c=2(x-0{,}5)=2x-1.$$

Теорема Пифагора с катетами $x$ и $4$:

$$x^2+4^2=(2x-1)^2.$$

Раскрываю скобки справа: $x^2+16=4x^2-4x+1$. Переношу всё в правую часть: $3x^2-4x-15=0$.

Дискриминант: $D=(-4)^2-4\cdot3\cdot(-15)=16+180=196$, $\sqrt{D}=14$. Корни: $x=\dfrac{4+14}{6}=3$ и $x=\dfrac{4-14}{6}=-\dfrac{5}{3}$.

Длина отрицательной быть не может, поэтому $x=3$.

Площадь — половина произведения катетов: $S=\dfrac{3\cdot4}{2}=6$.

Проверка: гипотенуза $2\cdot3-1=5$, и правда $3^2+4^2=25=5^2$. Медиана $\dfrac{5}{2}=2{,}5$, а катет $3$ больше неё ровно на $0{,}5$ — всё сходится.