Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042244

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы, поэтому гипотенуза — диаметр: $c=2\cdot5=10$ см.

Теперь вписанная окружность. Пусть $C$ — вершина прямого угла, $O$ — центр вписанной окружности, $M$ и $N$ — точки касания с катетами $CA$ и $CB$, $K$ — с гипотенузой. Радиусы $OM$ и $ON$ перпендикулярны катетам (радиус в точку касания перпендикулярен касательной), поэтому $CMON$ — квадрат со стороной $r=2$ и $CM=CN=2$.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $AM=AK$ и $BN=BK$. Тогда сумма катетов

$$AC+BC=(AM+2)+(BN+2)=AK+BK+4=c+4=14.$$

Обозначу катеты $a$ и $b$: $a+b=14$, а по теореме Пифагора $a^2+b^2=10^2=100$.

Возведу сумму в квадрат: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, то есть $196=100+2ab$, откуда $2ab=96$ и $ab=48$.

Площадь равна половине произведения катетов: $S=\dfrac{ab}{2}=\dfrac{48}{2}=24\ \text{см}^2$.

Проверю двумя путями. Катеты с суммой $14$ и произведением $48$ — корни уравнения $t^2-14t+48=0$, это $6$ и $8$; и действительно $6^2+8^2=100=10^2$. А площадь через радиус вписанной окружности: $S=rp$, где $p=\dfrac{6+8+10}{2}=12$ — полупериметр; $S=2\cdot12=24$ — то же самое.