Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042243

Пусть $ABC$ — треугольник с прямым углом $C$. Обозначу половины катетов: $AC=2x$, $BC=2y$. Медиана $BM$ идёт к середине $M$ катета $AC$, медиана $AN$ — к середине $N$ катета $BC$, так что $CM=x$, $CN=y$.

Каждая медиана — гипотенуза прямоугольного треугольника с прямым углом $C$. По теореме Пифагора:

$$BM^2=BC^2+CM^2=4y^2+x^2,\qquad AN^2=AC^2+CN^2=4x^2+y^2.$$

Пусть $BM=\sqrt{73}$, $AN=\sqrt{52}$ (если наоборот, поменяются местами $x$ и $y$, а гипотенуза не изменится):

$$x^2+4y^2=73,\qquad 4x^2+y^2=52.$$

Гипотенуза по теореме Пифагора: $AB^2=(2x)^2+(2y)^2=4(x^2+y^2)$. Значит, нужна сумма $x^2+y^2$. Складываю два уравнения:

$$5x^2+5y^2=73+52=125\ \Rightarrow\ x^2+y^2=25.$$

Тогда $AB^2=4\cdot25=100$, $AB=10$.

Проверю, найдя катеты. Умножу второе уравнение на $4$ и вычту первое: $15x^2=208-73=135$, $x^2=9$, $x=3$; тогда $y^2=52-4\cdot9=16$, $y=4$. Катеты $AC=6$, $BC=8$, гипотенуза $\sqrt{36+64}=10$ — то же. Медианы: $\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}$ и $\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$ — сходится с условием.