Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042241

Пусть $ABC$ — треугольник с прямым углом $C$, катеты $AC=x$ и $BC=y$, гипотенуза $AB=2\sqrt{13}$.

Больший острый угол лежит против большего катета. Пусть это угол $A$, тогда $y\gt x$. Медиана $AM$ из этого угла идёт к середине $M$ противолежащего катета $BC$, поэтому $CM=\dfrac{y}{2}$.

Теорема Пифагора для всего треугольника $ABC$:

$$x^2+y^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2=4\cdot13=52.$$

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника $ACM$ (угол $C$ прямой, гипотенуза — медиана $AM=5$):

$$x^2+\dfrac{y^2}{4}=25.$$

Вычитаю второе равенство из первого: $y^2-\dfrac{y^2}{4}=52-25$, то есть $\dfrac{3y^2}{4}=27$, откуда $y^2=36$ и $y=6$.

Тогда $x^2=52-36=16$, $x=4$. Условие $y\gt x$ выполнено: $6\gt4$, значит, угол $A$ действительно больший.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S=\dfrac{4\cdot6}{2}=12\ \text{см}^2$.

Проверка: гипотенуза $\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ — верно; медиана $AM=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ — верно. А медиана из меньшего угла $B$ равнялась бы $\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$, а не $5$, — значит, угол выбран правильно.