Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00013685

Что дано: Маша и Наташа фотографируют несколько дней, каждый день обе делают на одну фотографию больше, чем накануне. Всего Наташа сделала на $935$ больше, чем Маша.

Пусть фотографировали $d$ дней, в первый день Маша сделала $m$, Наташа — $n$. У каждой за $d$ дней — арифметическая прогрессия с одинаковой прибавкой $\dfrac{d(d-1)}{2}$, поэтому разность их сумм — это просто $d(n-m)=935$. Разложим: $935=5\cdot 11\cdot 17$, значит $d$ — делитель $935$.

Пункт а). Могло ли быть $5$ дней? $935=5\cdot 187$, тогда $n-m=187$ — целое, всё согласуется. Значит — да.

Пункт б). Могло ли быть $9$ дней? $9$ не делит $935$ ($935=9\cdot 103+8$), поэтому $d(n-m)=935$ при $d=9$ невозможно. Значит — нет.

Пункт в). Сумма Наташи равна $md+935+\dfrac{d(d-1)}{2}$. В последний день Маша сделала $m+d-1\lt 50$, то есть $m\leqslant 50-d$. Возьмём $m=50-d$ (побольше): сумма Наташи становится $\dfrac{d(99-d)}{2}+935$. Среди делителей $d\in\{5,11,17\}$ это максимально при $d=17$: $\dfrac{17\cdot 82}{2}+935=697+935=1632$. Наибольшее число фотографий Наташи — 1632.