Что дано: фотографируют d подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фото, Наташа — n, и каждый следующий день обе делают на одну больше. Это две арифметические прогрессии с шагом 1.

Сумма у Маши за d дней: m+(m+1)+\dots+(m+d-1)=md+\dfrac{d(d-1)}{2}. У Наташи так же, но с n: nd+\dfrac{d(d-1)}{2}. Прибавки \dfrac{d(d-1)}{2} одинаковые, поэтому разность сумм — это просто:

nd-md=d(n-m)=1001.

Разложим: 1001=7\cdot 11\cdot 13. Значит d — делитель числа 1001, и по условию d\gt 1.

Пункт а). Могли ли фотографировать 7 дней? 7 делит 1001, и тогда n-m=\dfrac{1001}{7}=143 — целое. Всё согласуется (например, m=1, n=144). Значит — да.

Пункт б). А 8 дней? Число 8 не делит 1001 (1001=8\cdot 125+1), поэтому равенство d(n-m)=1001 при d=8 невозможно (правая часть не делится на 8). Значит — нет.

Пункт в). Сумму Наташи распишем через Машу: nd+\dfrac{d(d-1)}{2}=md+d(n-m)+\dfrac{d(d-1)}{2}=md+1001+\dfrac{d(d-1)}{2}. В последний день Маша сделала m+d-1\lt 40, то есть m\leqslant 40-d.

Чтобы сумма Наташи была наибольшей, возьмём m максимальным: m=40-d. Тогда сумма Наташи равна d(40-d)+1001+\dfrac{d(d-1)}{2}=\dfrac{d(79-d)}{2}+1001. Перебираем подходящие делители d\in\{7,11,13\} (большие делители не оставляют места для m\geqslant 1): значение \dfrac{d(79-d)}{2} растёт, и максимум при d=13: \dfrac{13\cdot 66}{2}+1001=429+1001=1430.

Пример: d=13, m=27 (в последний день 27+12=39\lt 40), n-m=77. Наибольшая сумма Наташи — 1430.