Последовател… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013684

Что дано: фотографируют $d$ подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фото, Наташа — $n$, и каждый следующий день обе делают на одну больше. Это две арифметические прогрессии с шагом $1$.

Сумма у Маши за $d$ дней: $m+(m+1)+\dots+(m+d-1)=md+\dfrac{d(d-1)}{2}$. У Наташи так же, но с $n$: $nd+\dfrac{d(d-1)}{2}$. Прибавки $\dfrac{d(d-1)}{2}$ одинаковые, поэтому разность сумм — это просто:

$$nd-md=d(n-m)=1001.$$

Разложим: $1001=7\cdot 11\cdot 13$. Значит $d$ — делитель числа $1001$, и по условию $d\gt 1$.

Пункт а). Могли ли фотографировать $7$ дней? $7$ делит $1001$, и тогда $n-m=\dfrac{1001}{7}=143$ — целое. Всё согласуется (например, $m=1$, $n=144$). Значит — да.

Пункт б). А $8$ дней? Число $8$ не делит $1001$ ($1001=8\cdot 125+1$), поэтому равенство $d(n-m)=1001$ при $d=8$ невозможно (правая часть не делится на $8$). Значит — нет.

Пункт в). Сумму Наташи распишем через Машу: $nd+\dfrac{d(d-1)}{2}=md+d(n-m)+\dfrac{d(d-1)}{2}=md+1001+\dfrac{d(d-1)}{2}$. В последний день Маша сделала $m+d-1\lt 40$, то есть $m\leqslant 40-d$.

Чтобы сумма Наташи была наибольшей, возьмём $m$ максимальным: $m=40-d$. Тогда сумма Наташи равна $d(40-d)+1001+\dfrac{d(d-1)}{2}=\dfrac{d(79-d)}{2}+1001$. Перебираем подходящие делители $d\in\{7,11,13\}$ (большие делители не оставляют места для $m\geqslant 1$): значение $\dfrac{d(79-d)}{2}$ растёт, и максимум при $d=13$: $\dfrac{13\cdot 66}{2}+1001=429+1001=1430$.

Пример: $d=13$, $m=27$ (в последний день $27+12=39\lt 40$), $n-m=77$. Наибольшая сумма Наташи — 1430.