Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042226

Пункт а. Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 5. Достаточно найти одно нарушение.

Проверю делимость на 5. Остаток числа $2123$ при делении на 5 определяется последней цифрой: $n\equiv3\pmod5$.

Коэффициенты по модулю 5: $14\equiv4$, $7\equiv2$, $3\equiv3$, $13\equiv3$. Получаем $4\cdot27+2\cdot9+3\cdot3+3=108+18+9+3=138\equiv3\pmod5$.

Остаток 3 — число не делится на 5, а значит, и на 15. Итак, нет.

Пункт б. Докажу по индукции, что $f(n)=46^n+30n-1$ делится на 75.

База: $f(1)=46+30-1=75$ — делится.

Шаг. Сравню $f(n+1)$ с $46\cdot f(n)$:

$$f(n+1)-46f(n)=\left(46^{n+1}+30n+29\right)-\left(46^{n+1}+1380n-46\right)=75-1350n=75(1-18n).$$

Значит, $f(n+1)=46f(n)+75(1-18n)$. Если $f(n)$ делится на 75, то и $f(n+1)$ делится на 75.

Проверка другим способом: $46^n=(1+45)^n=1+45n+C_n^2\cdot45^2+\ldots$, а $45^2=2025=75\cdot27$. Поэтому $f(n)\equiv1+45n+30n-1=75n\equiv0\pmod{75}$. Итак, да.

Пункт в. $105=3\cdot5\cdot7$ — попарно взаимно простые множители, поэтому разберу делимость $g(n)=21n^3+19n^2+19n+10$ на каждый.

По модулю 3: $21\equiv0$, $19\equiv1$, $10\equiv1$, значит, $g(n)\equiv n^2+n+1$. При $n\equiv0,1,2$ получаем $1,\ 3,\ 7$ — делится на 3 только при $n\equiv1\pmod3$.

По модулю 5: $21\equiv1$, $19\equiv4$, $10\equiv0$, значит, $g(n)\equiv n^3+4n^2+4n=n(n+2)^2$. Делится на 5 при $n\equiv0$ или $n\equiv-2\equiv3\pmod5$.

По модулю 7: $21\equiv0$, $19\equiv5$, $10\equiv3$, значит, $g(n)\equiv5n^2+5n+3$. При $n=0,1,\ldots,6$ это $3,\ 13,\ 33,\ 63,\ 103,\ 153,\ 213$ с остатками $3,\ 6,\ 5,\ 0,\ 5,\ 6,\ 3$. Подходит только $n\equiv3\pmod7$.

Числа с остатком 3 при делении на 7: $3,\ 10,\ 17,\ldots$ Первое из них с остатком 1 при делении на 3 — это $10$. Значит, $n\equiv10\pmod{21}$.

Наименьший кандидат $n=10$, и $10\equiv0\pmod5$ — условие по модулю 5 выполнено.

Прямая проверка: $21\cdot1000+19\cdot100+19\cdot10+10=21000+1900+190+10=23100=105\cdot220$. Наименьшее значение — 10.