Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042225

Пункт а. Если число делится на 25, то оно делится и на 5. Проверю делимость на 5 — для этого вместо $n$ можно подставить его остаток при делении на 5.

$1982=5\cdot396+2$, поэтому $n\equiv2\pmod5$ (запись означает: остатки при делении на 5 одинаковы).

$12n^3+3n^2+6n+17\equiv12\cdot8+3\cdot4+6\cdot2+17=96+12+12+17=137\equiv2\pmod5$.

Остаток 2 — число не делится на 5, а значит, и на 25. Итак, нет.

Пункт б. Запишу $36=1+35$ и раскрою степень по формуле бинома Ньютона:

$$36^n=(1+35)^n=1+35n+C_n^2\cdot35^2+C_n^3\cdot35^3+\ldots$$

Начиная с третьего слагаемого все слагаемые содержат множитель $35^2=1225=25\cdot49$ и делятся на 25.

Поэтому $36^n+15n-1\equiv1+35n+15n-1=50n\pmod{25}$, а $50n$ делится на 25. Итак, да.

Другой способ — индукция: $f(n)=36^n+15n-1$, $f(1)=50$. Если $25\mid f(n)$, то $f(n+1)-36f(n)=15n+14-540n+36=50-525n=25(2-21n)$, и $f(n+1)$ тоже делится на 25.

Пункт в. $105=3\cdot5\cdot7$, и эти числа попарно взаимно просты. Значит, нужно, чтобы $f(n)=21n^3+19n^2+11n+19$ делилось на 3, на 5 и на 7.

По модулю 3: $21\equiv0$, $19\equiv1$, $11\equiv2$, поэтому $f(n)\equiv n^2+2n+1=(n+1)^2$. Делится на 3 только при $n\equiv2\pmod3$.

По модулю 5: $21\equiv1$, $19\equiv-1$, $11\equiv1$, $19\equiv-1$, поэтому $f(n)\equiv n^3-n^2+n-1=(n-1)(n^2+1)$. Это делится на 5, если $n\equiv1$ или $n^2\equiv-1\equiv4$, то есть $n\equiv1,2,3\pmod5$.

По модулю 7: $21\equiv0$, $19\equiv5$, $11\equiv4$, поэтому $f(n)\equiv5n^2+4n+5$. Переберу остатки $n=0,1,\ldots,6$: значения $5,\ 14,\ 33,\ 62,\ 101,\ 150,\ 209$ дают остатки $5,\ 0,\ 5,\ 6,\ 3,\ 3,\ 6$. Подходит только $n\equiv1\pmod7$.

Из $n\equiv2\pmod3$ и $n\equiv1\pmod7$: среди чисел $1,\ 8,\ 15,\ldots$ (дающих остаток 1 при делении на 7) первое с остатком 2 при делении на 3 — это $8$. Значит, $n\equiv8\pmod{21}$, наименьшее такое $n=8$.

Проверю остаток по модулю 5: $8\equiv3$ — подходит.

Прямая проверка: $21\cdot512+19\cdot64+11\cdot8+19=10752+1216+88+19=12075=105\cdot115$. Наименьшее значение — 8.