Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00041804

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Уравнение громоздкое, но посмотрим на него как на квадратное относительно $a$: все три коэффициента — при $a^{2}$, при $a$ и свободный член — обращаются в ноль при $x=-1$. Значит, у них есть общий множитель $x+1$, и уравнение разложится на простые множители.

Шаг 1. Раскладываем каждый коэффициент.

При $a^{2}$: $x^{2}+x=x(x+1)$.

При $a$ группируем слагаемые по два: $x^{4}+x^{3}+x+1=x^{3}(x+1)+(x+1)=(x+1)\left(x^{3}+1\right)$.

Свободный член: $x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1)$.

Выносим общий множитель за скобку:

$$(x+1)\left(xa^{2}+\left(x^{3}+1\right)a+x^{2}\right)=0.$$

Шаг 2. Раскладываем скобку. Раскроем её и сгруппируем слагаемые:

$$xa^{2}+x^{3}a+a+x^{2}=xa\left(a+x^{2}\right)+\left(a+x^{2}\right)=\left(ax+1\right)\left(x^{2}+a\right).$$

Итак, уравнение равносильно такому:

$$(x+1)(ax+1)\left(x^{2}+a\right)=0.$$

Все множители определены при любых $x$, поэтому произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Получаем совокупность трёх уравнений: $x=-1$, $ax=-1$, $x^{2}=-a$.

Шаг 3. Разберём каждое уравнение совокупности.

Уравнение $x=-1$ даёт корень при любом $a$.

Уравнение $ax=-1$ при $a\ne 0$ даёт корень $x=-\dfrac{1}{a}$, а при $a=0$ превращается в неверное равенство $0=-1$ и корней не имеет.

Уравнение $x^{2}=-a$ при $a\gt 0$ корней не имеет, при $a=0$ даёт один корень $x=0$, при $a\lt 0$ — два корня $x=\pm\sqrt{-a}$.

Шаг 4. Считаем различные корни.

При $a\gt 0$ кандидатов два: $-1$ и $-\dfrac{1}{a}$. Они совпадают, когда $-\dfrac{1}{a}=-1$, то есть при $a=1$. Значит, при $0\lt a\lt 1$ и при $a\gt 1$ различных корней ровно два, а при $a=1$ — один.

При $a=0$ корни $x=-1$ и $x=0$ — два различных. Подходит.

При $a\lt 0$ кандидатов четыре: $-1$, $-\dfrac{1}{a}$, $\sqrt{-a}$ и $-\sqrt{-a}$; последние два заведомо различны. Ровно два различных корня останется, только если кандидаты склеятся. Проверим все возможные совпадения.

Число $-1$ отрицательно, поэтому может совпасть только с $-\sqrt{-a}$: тогда $-a=1$, то есть $a=-1$.

Число $-\dfrac{1}{a}$ при $a\lt 0$ положительно, поэтому может совпасть только с $\sqrt{-a}$. Возводим равенство в квадрат: $\dfrac{1}{a^{2}}=-a$, откуда $a^{3}=-1$ и снова $a=-1$.

Совпадение $-\dfrac{1}{a}=-1$ означало бы $a=1\gt 0$ — при отрицательном $a$ оно невозможно.

Итак, при $a\lt 0$, $a\ne -1$ все четыре кандидата различны — корней четыре, не подходит. При $a=-1$ кандидаты равны $-1$, $1$, $1$ и $-1$ — различных корней ровно два. Подходит.

Шаг 5. Собираем ответ: $a=-1$, а также $0\le a\lt 1$ и $a\gt 1$.

Проверим себя. При $a=-1$ разложенный вид становится $(x+1)(1-x)\left(x^{2}-1\right)=-(x+1)^{2}(x-1)^{2}$ — нули только $x=-1$ и $x=1$. А при $a=-4$, вне ответа, корни $-1$, $\dfrac14$, $2$ и $-2$ — их четыре, как и должно быть.