Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение корень…

Неизвестное здесь x, а a — параметр, то есть «настройка» уравнения. Слева стоит произведение двух множителей, справа ноль. Нужно найти настройки, при которых на отрезке от 0 до 4 корень ровно один.

Метод назову словами: разложение на множители (точнее, использование готового произведения) вместе со строгим контролем области определения. Выбираем именно его, потому что уравнение уже подано в виде «произведение равно нулю» — остаётся приравнять к нулю каждый множитель по отдельности. Вся сложность задачи не в решении, а в отборе: корни надо проверить и на область определения, и на попадание в отрезок. Графики тут не нужны, всё считается точно.

Шаг 1. Область определения. Два требования.

Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное число: 7x-4\ge 0, откуда x\ge \dfrac{4}{7}.

Под логарифмом должно стоять строго положительное число: x^{2}-8x+17-a^{2}\gt 0.

Значит, реально мы ищем корни не на всём отрезке [0;4], а на его части \left[\dfrac{4}{7};4\right] — левее \dfrac{4}{7} уравнение просто не определено.

Шаг 2. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Разберём оба.

Случай 1 — когда нулю равен корень: \sqrt{7x-4}=0, то есть 7x-4=0, откуда x=\dfrac{4}{7}. Это неподвижная точка, она от параметра не зависит. Но чтобы всё произведение имело смысл, логарифм в этой точке обязан существовать.

Случай 2 — когда нулю равен логарифм: \ln\left(x^{2}-8x+17-a^{2}\right)=0. Логарифм равен нулю, когда под ним стоит единица (ведь любое основание в нулевой степени даёт 1). Значит

x^{2}-8x+17-a^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}-8x+16=a^{2}\ \Rightarrow\ (x-4)^{2}=a^{2}.

Отсюда x-4=a или x-4=-a, то есть x=4+a и x=4-a. Приятный бонус: под логарифмом в этих точках стоит ровно 1, а единица положительна, так что условие существования логарифма выполняется само собой. Проверить надо только x\ge \dfrac{4}{7} и попадание в отрезок.

Шаг 3. Когда работает точка x=\dfrac{4}{7}. Подставим её под логарифм и потребуем положительности:

\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2}-8\cdot\dfrac{4}{7}+17-a^{2}\gt 0.

Считаем по действиям. \left(\dfrac{4}{7}\right)^{2}=\dfrac{16}{49}. Далее 8\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{32}{7}=\dfrac{224}{49}. И 17=\dfrac{833}{49}, потому что 17\cdot 49=833. Складываем числители: 16-224+833=625. Получаем

\dfrac{625}{49}-a^{2}\gt 0\ \Rightarrow\ a^{2}\lt \dfrac{625}{49}\ \Rightarrow\ |a|\lt \dfrac{25}{7},

потому что \sqrt{625}=25 и \sqrt{49}=7.

Итог: корень x=\dfrac{4}{7} существует ровно при -\dfrac{25}{7}\lt a\lt \dfrac{25}{7}.

Шаг 4. Когда работают точки x=4\pm a. Требуем попадания в \left[\dfrac{4}{7};4\right].

Для x=4+a: неравенство \dfrac{4}{7}\le 4+a\le 4 равносильно \dfrac{4}{7}-4\le a\le 0, то есть -\dfrac{24}{7}\le a\le 0 (здесь \dfrac{4}{7}-4=\dfrac{4-28}{7}=-\dfrac{24}{7}).

Для x=4-a: неравенство \dfrac{4}{7}\le 4-a\le 4 равносильно 0\le a\le \dfrac{24}{7}.

Шаг 5. Заметим симметрию. Если заменить a на -a, то условие на точку \dfrac{4}{7} не изменится (там стоит a^{2}), а точки 4+a и 4-a просто поменяются местами. Значит, картина при a и при -a одинаковая, и достаточно разобрать a\ge 0, а потом отразить ответ.

Шаг 6. Разбираем a\ge 0. При таких a точка x=4+a участвует только при a=0 (тогда она совпадает с 4-a), поэтому основными являются точка \dfrac{4}{7} и точка 4-a.

При a=0: обе точки случая 2 сливаются в x=4, и она годится; плюс точка \dfrac{4}{7} (ведь 0\lt \dfrac{25}{7}). Итого два корня — не подходит.

При 0\lt a\lt \dfrac{24}{7}: годятся и \dfrac{4}{7}, и 4-a, причём они разные (совпали бы только при a=\dfrac{24}{7}). Два корня — не подходит.

При a=\dfrac{24}{7}: точка 4-a=4-\dfrac{24}{7}=\dfrac{28-24}{7}=\dfrac{4}{7} — это ровно та же точка, что и из первого случая. Различный корень один — подходит.

При \dfrac{24}{7}\lt a\lt \dfrac{25}{7}: точка 4-a уже меньше \dfrac{4}{7} и выпадает из области определения, а точка \dfrac{4}{7} ещё жива. Ровно один корень — подходит.

При a=\dfrac{25}{7}: под логарифмом в точке \dfrac{4}{7} получается ровно ноль, а логарифм нуля не существует — эта точка отваливается. Точка 4-a=\dfrac{3}{7} лежит левее \dfrac{4}{7}. Корней нет — не подходит.

При a\gt \dfrac{25}{7}: обе точки не проходят. Корней нет — не подходит.

Шаг 7. Собираем ответ. При a\ge 0 подходит \dfrac{24}{7}\le a\lt \dfrac{25}{7}. По симметрии при a\le 0 подходит -\dfrac{25}{7}\lt a\le -\dfrac{24}{7}.

Проверим себя при a=\dfrac{24}{7}. Под логарифмом в точке x=\dfrac{4}{7} стоит \dfrac{625}{49}-\dfrac{576}{49}=\dfrac{49}{49}=1, ведь 24^{2}=576. Логарифм единицы равен нулю, да и корень \sqrt{7\cdot\frac{4}{7}-4}=\sqrt{0}=0. Оба множителя нулевые, точка действительно корень — и она одна. Сходится.