Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028824

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр, то есть «настройка» уравнения. Слева стоит произведение двух множителей, справа ноль. Нужно найти настройки, при которых на отрезке от $0$ до $4$ корень ровно один.

Метод назову словами: разложение на множители (точнее, использование готового произведения) вместе со строгим контролем области определения. Выбираем именно его, потому что уравнение уже подано в виде «произведение равно нулю» — остаётся приравнять к нулю каждый множитель по отдельности. Вся сложность задачи не в решении, а в отборе: корни надо проверить и на область определения, и на попадание в отрезок. Графики тут не нужны, всё считается точно.

Шаг 1. Область определения. Два требования.

Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное число: $7x-4\ge 0$, откуда $x\ge \dfrac{4}{7}$.

Под логарифмом должно стоять строго положительное число: $x^{2}-8x+17-a^{2}\gt 0$.

Значит, реально мы ищем корни не на всём отрезке $[0;4]$, а на его части $\left[\dfrac{4}{7};4\right]$ — левее $\dfrac{4}{7}$ уравнение просто не определено.

Шаг 2. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Разберём оба.

Случай 1 — когда нулю равен корень: $\sqrt{7x-4}=0$, то есть $7x-4=0$, откуда $x=\dfrac{4}{7}$. Это неподвижная точка, она от параметра не зависит. Но чтобы всё произведение имело смысл, логарифм в этой точке обязан существовать.

Случай 2 — когда нулю равен логарифм: $\ln\left(x^{2}-8x+17-a^{2}\right)=0$. Логарифм равен нулю, когда под ним стоит единица (ведь любое основание в нулевой степени даёт $1$). Значит

$$x^{2}-8x+17-a^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}-8x+16=a^{2}\ \Rightarrow\ (x-4)^{2}=a^{2}.$$

Отсюда $x-4=a$ или $x-4=-a$, то есть $x=4+a$ и $x=4-a$. Приятный бонус: под логарифмом в этих точках стоит ровно $1$, а единица положительна, так что условие существования логарифма выполняется само собой. Проверить надо только $x\ge \dfrac{4}{7}$ и попадание в отрезок.

Шаг 3. Когда работает точка $x=\dfrac{4}{7}$. Подставим её под логарифм и потребуем положительности:

$$\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2}-8\cdot\dfrac{4}{7}+17-a^{2}\gt 0.$$

Считаем по действиям. $\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2}=\dfrac{16}{49}$. Далее $8\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{32}{7}=\dfrac{224}{49}$. И $17=\dfrac{833}{49}$, потому что $17\cdot 49=833$. Складываем числители: $16-224+833=625$. Получаем

$$\dfrac{625}{49}-a^{2}\gt 0\ \Rightarrow\ a^{2}\lt \dfrac{625}{49}\ \Rightarrow\ |a|\lt \dfrac{25}{7},$$

потому что $\sqrt{625}=25$ и $\sqrt{49}=7$.

Итог: корень $x=\dfrac{4}{7}$ существует ровно при $-\dfrac{25}{7}\lt a\lt \dfrac{25}{7}$.

Шаг 4. Когда работают точки $x=4\pm a$. Требуем попадания в $\left[\dfrac{4}{7};4\right]$.

Для $x=4+a$: неравенство $\dfrac{4}{7}\le 4+a\le 4$ равносильно $\dfrac{4}{7}-4\le a\le 0$, то есть $-\dfrac{24}{7}\le a\le 0$ (здесь $\dfrac{4}{7}-4=\dfrac{4-28}{7}=-\dfrac{24}{7}$).

Для $x=4-a$: неравенство $\dfrac{4}{7}\le 4-a\le 4$ равносильно $0\le a\le \dfrac{24}{7}$.

Шаг 5. Заметим симметрию. Если заменить $a$ на $-a$, то условие на точку $\dfrac{4}{7}$ не изменится (там стоит $a^{2}$), а точки $4+a$ и $4-a$ просто поменяются местами. Значит, картина при $a$ и при $-a$ одинаковая, и достаточно разобрать $a\ge 0$, а потом отразить ответ.

Шаг 6. Разбираем $a\ge 0$. При таких $a$ точка $x=4+a$ участвует только при $a=0$ (тогда она совпадает с $4-a$), поэтому основными являются точка $\dfrac{4}{7}$ и точка $4-a$.

При $a=0$: обе точки случая 2 сливаются в $x=4$, и она годится; плюс точка $\dfrac{4}{7}$ (ведь $0\lt \dfrac{25}{7}$). Итого два корня — не подходит.

При $0\lt a\lt \dfrac{24}{7}$: годятся и $\dfrac{4}{7}$, и $4-a$, причём они разные (совпали бы только при $a=\dfrac{24}{7}$). Два корня — не подходит.

При $a=\dfrac{24}{7}$: точка $4-a=4-\dfrac{24}{7}=\dfrac{28-24}{7}=\dfrac{4}{7}$ — это ровно та же точка, что и из первого случая. Различный корень один — подходит.

При $\dfrac{24}{7}\lt a\lt \dfrac{25}{7}$: точка $4-a$ уже меньше $\dfrac{4}{7}$ и выпадает из области определения, а точка $\dfrac{4}{7}$ ещё жива. Ровно один корень — подходит.

При $a=\dfrac{25}{7}$: под логарифмом в точке $\dfrac{4}{7}$ получается ровно ноль, а логарифм нуля не существует — эта точка отваливается. Точка $4-a=\dfrac{3}{7}$ лежит левее $\dfrac{4}{7}$. Корней нет — не подходит.

При $a\gt \dfrac{25}{7}$: обе точки не проходят. Корней нет — не подходит.

Шаг 7. Собираем ответ. При $a\ge 0$ подходит $\dfrac{24}{7}\le a\lt \dfrac{25}{7}$. По симметрии при $a\le 0$ подходит $-\dfrac{25}{7}\lt a\le -\dfrac{24}{7}$.

Проверим себя при $a=\dfrac{24}{7}$. Под логарифмом в точке $x=\dfrac{4}{7}$ стоит $\dfrac{625}{49}-\dfrac{576}{49}=\dfrac{49}{49}=1$, ведь $24^{2}=576$. Логарифм единицы равен нулю, да и корень $\sqrt{7\cdot\frac{4}{7}-4}=\sqrt{0}=0$. Оба множителя нулевые, точка действительно корень — и она одна. Сходится.