Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00041810

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Уравнение громоздкое, но посмотрим на него как на квадратное относительно $a$: все три коэффициента — при $a^{2}$, при $a$ и свободный член — обращаются в ноль при $x=4$. Значит, у них есть общий множитель $x-4$, и уравнение разложится на простые множители.

Шаг 1. Раскладываем каждый коэффициент.

При $a^{2}$: $x^{2}-4x=x(x-4)$.

При $a$ группируем слагаемые по два: $x^{4}-4x^{3}-64x+256=x^{3}(x-4)-64(x-4)=(x-4)\left(x^{3}-64\right)$.

Свободный член: $-64x^{3}+256x^{2}=-64x^{2}(x-4)$.

Выносим общий множитель за скобку:

$$(x-4)\left(xa^{2}+\left(x^{3}-64\right)a-64x^{2}\right)=0.$$

Шаг 2. Раскладываем скобку. Раскроем её и сгруппируем слагаемые:

$$xa^{2}+x^{3}a-64a-64x^{2}=xa\left(a+x^{2}\right)-64\left(a+x^{2}\right)=\left(ax-64\right)\left(x^{2}+a\right).$$

Итак, уравнение равносильно такому:

$$(x-4)\left(ax-64\right)\left(x^{2}+a\right)=0.$$

Все множители определены при любых $x$, поэтому произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Получаем совокупность трёх уравнений: $x=4$, $ax=64$, $x^{2}=-a$.

Шаг 3. Разберём каждое уравнение совокупности.

Уравнение $x=4$ даёт корень при любом $a$.

Уравнение $ax=64$ при $a\ne 0$ даёт корень $x=\dfrac{64}{a}$, а при $a=0$ превращается в неверное равенство $0=64$ и корней не имеет.

Уравнение $x^{2}=-a$ при $a\gt 0$ корней не имеет, при $a=0$ даёт один корень $x=0$, при $a\lt 0$ — два корня $x=\pm\sqrt{-a}$.

Шаг 4. Считаем различные корни.

При $a\gt 0$ кандидатов два: $4$ и $\dfrac{64}{a}$. Они совпадают, когда $\dfrac{64}{a}=4$, то есть при $a=16$. Значит, при $0\lt a\lt 16$ и при $a\gt 16$ различных корней ровно два, а при $a=16$ — один.

При $a=0$ корни $x=4$ и $x=0$ — два различных. Подходит.

При $a\lt 0$ кандидатов четыре: $4$, $\dfrac{64}{a}$, $\sqrt{-a}$ и $-\sqrt{-a}$; последние два заведомо различны. Ровно два различных корня останется, только если кандидаты склеятся. Проверим все возможные совпадения.

Число $4$ положительно, поэтому может совпасть только с $\sqrt{-a}$: тогда $-a=16$, то есть $a=-16$.

Число $\dfrac{64}{a}$ при $a\lt 0$ отрицательно, поэтому может совпасть только с $-\sqrt{-a}$. Возводим равенство в квадрат: $\dfrac{4096}{a^{2}}=-a$, откуда $a^{3}=-4096$ и снова $a=-16$.

Совпадение $\dfrac{64}{a}=4$ означало бы $a=16\gt 0$ — при отрицательном $a$ оно невозможно.

Итак, при $a\lt 0$, $a\ne -16$ все четыре кандидата различны — корней четыре, не подходит. При $a=-16$ кандидаты равны $4$, $\dfrac{64}{-16}=-4$, $4$ и $-4$ — различных корней ровно два. Подходит.

Шаг 5. Собираем ответ: $a=-16$, а также $0\le a\lt 16$ и $a\gt 16$.

Проверим себя. При $a=-16$ разложенный вид становится $(x-4)\left(-16x-64\right)\left(x^{2}-16\right)=-16(x-4)^{2}(x+4)^{2}$ — нули только $x=4$ и $x=-4$. А при $a=-1$, вне ответа, корни $4$, $-64$, $1$ и $-1$ — их четыре, как и должно быть.