Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00041807

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Уравнение громоздкое, но посмотрим на него как на квадратное относительно $a$: все три коэффициента — при $a^{2}$, при $a$ и свободный член — обращаются в ноль при $x=2$. Значит, у них есть общий множитель $x-2$, и уравнение разложится на простые множители.

Шаг 1. Раскладываем каждый коэффициент.

При $a^{2}$: $x^{2}-2x=x(x-2)$.

При $a$ группируем слагаемые по два: $x^{4}-2x^{3}-8x+16=x^{3}(x-2)-8(x-2)=(x-2)\left(x^{3}-8\right)$.

Свободный член: $-8x^{3}+16x^{2}=-8x^{2}(x-2)$.

Выносим общий множитель за скобку:

$$(x-2)\left(xa^{2}+\left(x^{3}-8\right)a-8x^{2}\right)=0.$$

Шаг 2. Раскладываем скобку. Раскроем её и сгруппируем слагаемые:

$$xa^{2}+x^{3}a-8a-8x^{2}=xa\left(a+x^{2}\right)-8\left(a+x^{2}\right)=\left(ax-8\right)\left(x^{2}+a\right).$$

Итак, уравнение равносильно такому:

$$(x-2)\left(ax-8\right)\left(x^{2}+a\right)=0.$$

Все множители определены при любых $x$, поэтому произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Получаем совокупность трёх уравнений: $x=2$, $ax=8$, $x^{2}=-a$.

Шаг 3. Разберём каждое уравнение совокупности.

Уравнение $x=2$ даёт корень при любом $a$.

Уравнение $ax=8$ при $a\ne 0$ даёт корень $x=\dfrac{8}{a}$, а при $a=0$ превращается в неверное равенство $0=8$ и корней не имеет.

Уравнение $x^{2}=-a$ при $a\gt 0$ корней не имеет, при $a=0$ даёт один корень $x=0$, при $a\lt 0$ — два корня $x=\pm\sqrt{-a}$.

Шаг 4. Считаем различные корни.

При $a\gt 0$ кандидатов два: $2$ и $\dfrac{8}{a}$. Они совпадают, когда $\dfrac{8}{a}=2$, то есть при $a=4$. Значит, при $0\lt a\lt 4$ и при $a\gt 4$ различных корней ровно два, а при $a=4$ — один.

При $a=0$ корни $x=2$ и $x=0$ — два различных. Подходит.

При $a\lt 0$ кандидатов четыре: $2$, $\dfrac{8}{a}$, $\sqrt{-a}$ и $-\sqrt{-a}$; последние два заведомо различны. Ровно два различных корня останется, только если кандидаты склеятся. Проверим все возможные совпадения.

Число $2$ положительно, поэтому может совпасть только с $\sqrt{-a}$: тогда $-a=4$, то есть $a=-4$.

Число $\dfrac{8}{a}$ при $a\lt 0$ отрицательно, поэтому может совпасть только с $-\sqrt{-a}$. Возводим равенство в квадрат: $\dfrac{64}{a^{2}}=-a$, откуда $a^{3}=-64$ и снова $a=-4$.

Совпадение $\dfrac{8}{a}=2$ означало бы $a=4\gt 0$ — при отрицательном $a$ оно невозможно.

Итак, при $a\lt 0$, $a\ne -4$ все четыре кандидата различны — корней четыре, не подходит. При $a=-4$ кандидаты равны $2$, $\dfrac{8}{-4}=-2$, $2$ и $-2$ — различных корней ровно два. Подходит.

Шаг 5. Собираем ответ: $a=-4$, а также $0\le a\lt 4$ и $a\gt 4$.

Проверим себя. При $a=-4$ разложенный вид становится $(x-2)\left(-4x-8\right)\left(x^{2}-4\right)=-4(x-2)^{2}(x+2)^{2}$ — нули только $x=2$ и $x=-2$. А при $a=-1$, вне ответа, корни $2$, $-8$, $1$ и $-1$ — их четыре, как и должно быть.