Задание 19 ЕГЭ по математике №00042218

Шаг 1. Первое уравнение при $x\ge 0$. Справа соберём слагаемые с $y$: $yx^{3}+yx(3-2x)=yx\left(x^{2}-2x+3\right)$. Получаем

$$\sqrt{x}\left(x^{2}-2x+3\right)=yx\left(x^{2}-2x+3\right).$$

Так как $x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2\ge 2$, делим на этот множитель: $\sqrt{x}=xy$.

При $x=0$ это верно для любого $y$. При $x\gt 0$ получаем $y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\gt 0$, и каждому $y\gt 0$ соответствует единственное $x=\dfrac{1}{y^{2}}$.

Значит, каждое значение $y_{0}$, удовлетворяющее второму уравнению, даёт два решения системы, если $y_{0}\gt 0$, и одно решение $(0;y_{0})$, если $y_{0}\le 0$.

Шаг 2. Второе уравнение раскладывается на множители:

$$y^{2}+(a-7)y+(a+1)(6-2a)=\left(y-(a+1)\right)\left(y-(6-2a)\right).$$

Проверка: сумма $(a+1)+(6-2a)=7-a$ и произведение $(a+1)(6-2a)$ совпадают с коэффициентами.

Изобразим его на плоскости $(a;y)$: это две прямые $y=a+1$ и $y=6-2a$. Они пересекаются при $a+1=6-2a$, то есть в точке $a=\dfrac{5}{3}$, $y=\dfrac{8}{3}$.

Шаг 3. Для каждого $a$ проведём вертикальную прямую и посмотрим, какие значения $y$ на ней получаются.

— При $a\ne\dfrac{5}{3}$ значений $y$ два. Ровно два решения системы были бы только при обоих неположительных значениях: $a+1\le 0$ и $6-2a\le 0$, то есть $a\le -1$ и $a\ge 3$, — противоречие. На плоскости это видно сразу: первая прямая лежит не выше оси $Oa$ только при $a\le -1$, вторая — только при $a\ge 3$, и вместе ниже оси они не бывают. Значит, решений хотя бы три.

— При $a=\dfrac{5}{3}$ значение $y$ одно, $y_{0}=\dfrac{8}{3}\gt 0$, и решений ровно два: $\left(0;\dfrac{8}{3}\right)$ и $\left(\dfrac{9}{64};\dfrac{8}{3}\right)$.

Проверим себя. При $x=\dfrac{9}{64}$: $\sqrt{x}=\dfrac{3}{8}$ и $xy=\dfrac{9}{64}\cdot\dfrac{8}{3}=\dfrac{3}{8}$ — первое уравнение верно. При $a=3$ значения $y=4$ и $y=0$ дают три решения.