Задание 19 ЕГЭ по математике №00042216

Шаг 1. Первое уравнение. Его область определения $x\ge 0$. Перенесём слагаемое с $y$ вправо и вынесем общий множитель:

$$\sqrt{x}\left(x^{2}+x+2\right)=yx^{3}+yx(x+2)=yx\left(x^{2}+x+2\right).$$

Множитель $x^{2}+x+2$ положителен при всех $x$ (его дискриминант $1-8\lt 0$), на него можно разделить: $\sqrt{x}=yx$.

— Если $x=0$, равенство верно при любом $y$.

— Если $x\gt 0$, делим на $\sqrt{x}$: $1=y\sqrt{x}$. Значит, $y\gt 0$ и $x=\dfrac{1}{y^{2}}$.

Итак, решения первого уравнения — все точки $(0;y)$ и точки $\left(\dfrac{1}{y^{2}};y\right)$ с $y\gt 0$.

Шаг 2. Второе уравнение содержит только $y$. Найдём его корни по теореме Виета: сумма корней равна $8-a$, произведение $(a+3)(5-2a)$. Числа $a+3$ и $5-2a$ подходят: их сумма $8-a$, а произведение как раз $(a+3)(5-2a)$. Значит, $y=a+3$ или $y=5-2a$.

Шаг 3. Сколько решений системы даёт одно значение $y_{0}$. Точка $(0;y_{0})$ — решение всегда. Если $y_{0}\gt 0$, добавляется ещё точка $\left(\dfrac{1}{y_{0}^{2}};y_{0}\right)$ с $x\gt 0$. Если $y_{0}\le 0$, решение одно.

Шаг 4. Считаем.

Если корни $y$ различны, каждый даёт хотя бы одно решение. Ровно два решения получатся, только если каждый корень даёт ровно одно, то есть оба корня неположительны: $a+3\le 0$ и $5-2a\le 0$, или $a\le -3$ и $a\ge\dfrac{5}{2}$. Так не бывает, поэтому при различных корнях решений больше двух.

Если корни совпадают: $a+3=5-2a$, то есть $a=\dfrac{2}{3}$, и $y_{0}=\dfrac{11}{3}\gt 0$. Решений ровно два: $\left(0;\dfrac{11}{3}\right)$ и $\left(\dfrac{9}{121};\dfrac{11}{3}\right)$.

Проверим себя. При $a=\dfrac{2}{3}$ второе уравнение $y^{2}-\dfrac{22}{3}y+\dfrac{121}{9}=\left(y-\dfrac{11}{3}\right)^{2}=0$ — корень один. А при $a=0$ корни $y=3$ и $y=5$ дают уже четыре решения.