Задание 19 ЕГЭ по математике №00042209

Будем решать графически на плоскости $(x;y)$: число решений системы равно числу общих точек графиков двух уравнений.

Шаг 1. Второе уравнение. Выразим модуль: $4|y|=-x^{2}-8x=16-(x+4)^{2}$, то есть

$$|y|=4-\dfrac{(x+4)^{2}}{4}.$$

Правая часть неотрицательна при $-8\le x\le 0$. Значит, второе уравнение задаёт замкнутую кривую $\Omega$ из двух дуг парабол:

— верхняя дуга $y=4-\dfrac{(x+4)^{2}}{4}$ с вершиной $(-4;4)$;

— нижняя дуга $y=-4+\dfrac{(x+4)^{2}}{4}$ с вершиной $(-4;-4)$.

Дуги соединяются в точках $(-8;0)$ и $(0;0)$. Кривая ограничивает выпуклую фигуру, и у всех её точек $y\ge -4$; самая нижняя точка — $(-4;-4)$.

Шаг 2. Первое уравнение. График $y=|x-a|-4$ — «уголок» с вершиной $A(a;-4)$ и двумя лучами: правый $y=x-a-4$ при $x\ge a$ и левый $y=-x+a-4$ при $x\le a$. При изменении $a$ вершина скользит по прямой $y=-4$.

На прямой $y=x-a-4$ условие $y\ge -4$ равносильно $x\ge a$. Поэтому все общие точки этой прямой с $\Omega$ автоматически лежат на правом луче. Точно так же общие точки прямой $y=-x+a-4$ с $\Omega$ лежат на левом луче. Значит, вместо лучей можно считать пересечения целых прямых.

Шаг 3. Правый луч: прямые $y=x+m$, где $m=-a-4$. Прямая с наклоном $1$ пересекает границу выпуклой фигуры в двух точках, пока лежит строго между двумя касательными того же наклона. Найдём их.

Касание с верхней дугой: $4-\dfrac{(x+4)^{2}}{4}=x+m\iff x^{2}+12x+4m=0$. Дискриминант $144-16m=0$ при $m=9$; точка касания $x=-6$ лежит на дуге.

Касание с нижней дугой: $-4+\dfrac{(x+4)^{2}}{4}=x+m\iff x^{2}+4x-4m=0$. Дискриминант $16+16m=0$ при $m=-1$; точка касания $x=-2$ лежит на дуге.

Правый луч имеет с $\Omega$ две общие точки при $-1\lt -a-4\lt 9$, то есть при $-13\lt a\lt -3$; одну — при $a=-13$ и $a=-3$; ни одной — при остальных $a$.

Шаг 4. Левый луч: прямые $y=-x+n$, где $n=a-4$.

Касание с верхней дугой: $4-\dfrac{(x+4)^{2}}{4}=-x+n\iff x^{2}+4x+4n=0$, $16-16n=0$, $n=1$, точка $x=-2$.

Касание с нижней дугой: $-4+\dfrac{(x+4)^{2}}{4}=-x+n\iff x^{2}+12x-4n=0$, $144+16n=0$, $n=-9$, точка $x=-6$.

Левый луч имеет две общие точки при $-9\lt a-4\lt 1$, то есть $-5\lt a\lt 5$; одну — при $a=-5$ и $a=5$; ни одной — при остальных $a$.

Шаг 5. Складываем. Два луча имеют единственную общую точку — вершину $A$. Она лежит на $\Omega$ только тогда, когда совпадает с нижней точкой кривой, то есть при $a=-4$; тогда одна точка посчитана дважды.

— $a\lt -13$ и $a\gt 5$: $0$ решений;

— $a=-13$: $1+0=1$;

— $-13\lt a\lt -5$: $2+0=2$;

— $a=-5$: $2+1=3$;

— $-5\lt a\lt -3$: $2+2=4$, а при $a=-4$ получается $4-1=3$;

— $a=-3$: $1+2=3$;

— $-3\lt a\lt 5$: $0+2=2$;

— $a=5$: $0+1=1$.

Ровно два решения при $-13\lt a\lt -5$ и при $-3\lt a\lt 5$.

Проверим себя при $a=0$. Правый луч $y=x-4$ с кривой не встречается. Левый луч $y=-x-4$ с верхней дугой даёт $x^{2}+4x-16=0$, подходит $x=-2-2\sqrt{5}\approx -6{,}47$, а с нижней — $x^{2}+12x+16=0$, подходит $x=-6+2\sqrt{5}\approx -1{,}53$. Решений два.