Задание 19 ЕГЭ по математике №00042217

Шаг 1. Первое уравнение. Область определения $x\ge 0$. Соберём слагаемые с $y$ справа: $yx^{3}+yx(x+1)=y\left(x^{3}+x^{2}+x\right)=yx\left(x^{2}+x+1\right)$. Получаем

$$\sqrt{x}\left(x^{2}+x+1\right)=yx\left(x^{2}+x+1\right).$$

Множитель $x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}$ положителен, поэтому уравнение равносильно $\sqrt{x}=xy$, то есть $\sqrt{x}\left(1-y\sqrt{x}\right)=0$.

Отсюда $x=0$ (при любом $y$) или $y\sqrt{x}=1$, то есть $y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ при $x\gt 0$. Функция $y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ при $x\gt 0$ принимает каждое положительное значение ровно один раз и не принимает неположительных значений.

Шаг 2. Второе уравнение — квадратное относительно $y$. Его дискриминант:

$$D=(2a-6)^{2}-4(a+3)(3-3a)=4a^{2}-24a+36+12a^{2}+24a-36=16a^{2}.$$

Корни: $y=\dfrac{6-2a\pm 4a}{2}$, то есть $y_{1}=3+a$ и $y_{2}=3-3a$. Они совпадают только при $D=0$, то есть при $a=0$.

Шаг 3. Каждый корень $y_{0}$ второго уравнения даёт решение $(0;y_{0})$, а если $y_{0}\gt 0$ — ещё и решение $\left(\dfrac{1}{y_{0}^{2}};y_{0}\right)$.

Шаг 4. При $a\ne 0$ корней два, и хотя бы один из них положителен: если $3+a\le 0$, то $a\le -3$ и $3-3a\ge 12\gt 0$. Положительный корень даёт два решения, второй корень — ещё хотя бы одно, всего не меньше трёх.

При $a=0$ корень один, $y_{0}=3\gt 0$, и решений ровно два: $(0;3)$ и $\left(\dfrac{1}{9};3\right)$.

Проверим себя. Точка $\left(\dfrac{1}{9};3\right)$ в первом уравнении: $\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$ и $xy=\dfrac{1}{9}\cdot 3=\dfrac{1}{3}$ — верно. А при $a=1$ корни $y=4$ и $y=0$ дают три решения: $(0;4)$, $\left(\dfrac{1}{16};4\right)$, $(0;0)$.