Задание 19 ЕГЭ по математике №00042210

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$: решения системы — общие точки графиков двух уравнений.

Шаг 1. Второе уравнение: $2|y|=6x-x^{2}=9-(x-3)^{2}$, то есть $|y|=4{,}5-\dfrac{(x-3)^{2}}{2}$. Оно задаёт замкнутую кривую $\Omega$ на отрезке $0\le x\le 6$: верхнюю дугу $y=4{,}5-\dfrac{(x-3)^{2}}{2}$ с вершиной $(3;4{,}5)$ и нижнюю дугу $y=-4{,}5+\dfrac{(x-3)^{2}}{2}$ с вершиной $(3;-4{,}5)$; дуги сходятся в точках $(0;0)$ и $(6;0)$. Кривая ограничивает выпуклую фигуру, поэтому любая прямая имеет с $\Omega$ не больше двух общих точек.

Шаг 2. Первое уравнение — «уголок» с вершиной $A(a;-4{,}5)$: правый луч $y=x-a-4{,}5$ ($x\ge a$) и левый луч $y=-x+a-4{,}5$ ($x\le a$). Вершина лежит на уровне самой нижней точки кривой, а продолжения лучей за вершину идут ниже этого уровня и кривую не задевают. Поэтому общие точки луча с $\Omega$ — это общие точки всей его прямой с $\Omega$.

Каждый луч даёт не больше двух решений. Значит, четыре решения возможны только так: каждый луч пересекает кривую дважды, и у этих пар нет общей точки. Общей у лучей может быть лишь вершина $A$, а на кривой она лежит только при $a=3$ (совпадает с точкой $(3;-4{,}5)$).

Шаг 3. Правый луч: $y=x+m$, $m=-a-4{,}5$. Подставим в уравнения дуг.

Нижняя дуга: $-4{,}5+\dfrac{(x-3)^{2}}{2}=x+m\iff x^{2}-8x-2m=0$. Касание при $64+8m=0$, $m=-8$, в точке $x=4$ (на дуге).

Верхняя дуга: $4{,}5-\dfrac{(x-3)^{2}}{2}=x+m\iff x^{2}-4x+2m=0$. Касание при $16-8m=0$, $m=2$, в точке $x=2$ (на дуге).

Прямая пересекает кривую дважды, когда лежит строго между касательными: $-8\lt -a-4{,}5\lt 2$, то есть $-6{,}5\lt a\lt 3{,}5$.

Шаг 4. Левый луч: $y=-x+n$, $n=a-4{,}5$.

Нижняя дуга: $-4{,}5+\dfrac{(x-3)^{2}}{2}=-x+n\iff x^{2}-4x-2n=0$. Касание при $16+8n=0$, $n=-2$, в точке $x=2$.

Верхняя дуга: $4{,}5-\dfrac{(x-3)^{2}}{2}=-x+n\iff x^{2}-8x+2n=0$. Касание при $64-8n=0$, $n=8$, в точке $x=4$.

Две общие точки: $-2\lt a-4{,}5\lt 8$, то есть $2{,}5\lt a\lt 12{,}5$.

Шаг 5. Оба луча дают по две точки при $2{,}5\lt a\lt 3{,}5$. Исключаем $a=3$: тогда вершина уголка лежит на кривой, это общая точка двух пар, и решений три.

На концах: при $a=2{,}5$ левый луч только касается кривой ($2+1=3$ решения), при $a=3{,}5$ касается правый ($1+2=3$).

Итак, четыре решения при $2{,}5\lt a\lt 3$ и при $3\lt a\lt 3{,}5$.

Проверим себя при $a=3{,}2$. Правый луч $y=x-7{,}7$ с нижней дугой: $x^{2}-8x+15{,}4=0$, $x=4\pm\sqrt{0{,}6}$ — обе точки на отрезке $[3{,}2;6]$. Левый луч $y=-x-1{,}3$ с нижней дугой: $x^{2}-4x+2{,}6=0$, $x=2\pm\sqrt{1{,}4}$ — обе на отрезке $[0;3{,}2]$. Четыре различных решения.