Задание 18 ЕГЭ по математике №00028826

Сначала переведём условие на понятный язык. «Система имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;2]$» означает: найдётся хотя бы одна точка $x$ из этого отрезка, которая подходит всем трём неравенствам сразу. Не обязательно все точки — достаточно одной.

Метод назову словами: переписываем каждое неравенство как условие на параметр и ищем самую выгодную точку отрезка. Это рассуждение о монотонности: если все требования становятся мягче при движении $x$ в одну сторону, то проверять надо только один конец отрезка, а не все точки подряд. Такой путь короче, чем графический: рисовать три линии в осях $(x;a)$ можно, но нам хватит простого сравнения.

Шаг 1. Перепишем каждое неравенство так, чтобы слева стоял параметр или его квадрат.

Первое: $x\le 2a+6$. Перенесём: $2a\ge x-6$, откуда $a\ge \dfrac{x-6}{2}$.

Второе: $6x\ge x^{2}+a^{2}$, откуда $a^{2}\le 6x-x^{2}$. Правую часть удобно записать как $x(6-x)$.

Третье: $x+a\gt 0$, откуда $a\gt -x$.

Шаг 2. Заметим, что первое неравенство лишнее. Сравним две нижние границы для параметра: $-x$ (из третьего) и $\dfrac{x-6}{2}$ (из первого). Найдём их разность:

$$-x-\dfrac{x-6}{2}=\dfrac{-2x-(x-6)}{2}=\dfrac{-2x-x+6}{2}=\dfrac{6-3x}{2}.$$

На отрезке $[1;2]$ имеем $3x\le 6$, поэтому $6-3x\ge 0$, значит разность неотрицательна: $-x\ge \dfrac{x-6}{2}$.

Получается, что третье требование не слабее первого. Если выполнено $a\gt -x$, то тем более выполнено $a\ge \dfrac{x-6}{2}$. Значит, первое неравенство можно просто забыть — оно ничего нового не добавляет.

Шаг 3. Остались два условия: $a\gt -x$ и $a^{2}\le x(6-x)$. Посмотрим, при каком $x$ они самые мягкие.

Случай 1 — условие $a\gt -x$. Чем больше $x$, тем меньше число $-x$, а значит тем легче параметру его превзойти. Самое мягкое требование — при $x=2$, там оно превращается в $a\gt -2$.

Случай 2 — условие $a^{2}\le x(6-x)$. Разберёмся, как ведёт себя правая часть на отрезке $[1;2]$. Это квадратный трёхчлен $6x-x^{2}$ с отрицательным старшим коэффициентом; его вершина находится в точке $x=\dfrac{6}{2}=3$, а слева от вершины такая парабола возрастает. Наш отрезок $[1;2]$ целиком лежит левее тройки, значит на нём выражение растёт: $1\cdot 5=5$ при $x=1$ и $2\cdot 4=8$ при $x=2$. Чем больше правая часть, тем легче выполнить неравенство, поэтому самое мягкое требование снова при $x=2$.

Шаг 4. Оба условия мягче всего в одной и той же точке — в правом конце отрезка. Отсюда важный вывод: если решение на отрезке существует хоть где-то, то точка $x=2$ подойдёт обязательно; а если не подходит даже она, то не подойдёт никакая другая точка отрезка. Значит, задача сводится к проверке одной точки.

Шаг 5. Подставляем $x=2$ во все три исходных неравенства.

Первое: $2\le 2a+6$, то есть $2a\ge -4$, откуда $a\ge -2$.

Второе: $6\cdot 2\ge 2^{2}+a^{2}$, то есть $12\ge 4+a^{2}$, откуда $a^{2}\le 8$. Извлекаем корень: $|a|\le \sqrt{8}=2\sqrt{2}$, то есть $-2\sqrt{2}\le a\le 2\sqrt{2}$.

Третье: $2+a\gt 0$, откуда $a\gt -2$.

Шаг 6. Пересекаем условия. Требования $a\ge -2$ и $a\gt -2$ вместе дают строгое $a\gt -2$. Осталось наложить $-2\sqrt{2}\le a\le 2\sqrt{2}$. Так как $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$, левая граница $-2\sqrt{2}\approx -2{,}83$ лежит левее, чем $-2$, и потому ничего не отрезает.

В итоге остаётся $-2\lt a\le 2\sqrt{2}$.

Проверим границы. При $a=-2$ третье неравенство в точке $x=2$ даёт $2+(-2)=0\gt 0$ — неверно, а в остальных точках отрезка ещё хуже, ведь там $x$ меньше двух. Значит, $-2$ в ответ не входит. При $a=2\sqrt{2}$ второе неравенство в точке $x=2$ даёт $12\ge 4+8=12$ — верно, неравенство нестрогое, так что эта граница входит; третье даёт $2+2\sqrt{2}\gt 0$ — верно; первое даёт $2\le 4\sqrt{2}+6$ — верно.

Проверим себя ещё раз, взяв $a=0$ и $x=2$. Первое: $2\le 6$ — верно. Второе: $12\ge 4+0$ — верно. Третье: $2+0=2\gt 0$ — верно. Решение есть, всё сходится.