Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система…

Сначала переведём условие на понятный язык. «Система имеет хотя бы одно решение на отрезке [1;2]» означает: найдётся хотя бы одна точка x из этого отрезка, которая подходит всем трём неравенствам сразу. Не обязательно все точки — достаточно одной.

Метод назову словами: переписываем каждое неравенство как условие на параметр и ищем самую выгодную точку отрезка. Это рассуждение о монотонности: если все требования становятся мягче при движении x в одну сторону, то проверять надо только один конец отрезка, а не все точки подряд. Такой путь короче, чем графический: рисовать три линии в осях (x;a) можно, но нам хватит простого сравнения.

Шаг 1. Перепишем каждое неравенство так, чтобы слева стоял параметр или его квадрат.

Первое: x\le 2a+6. Перенесём: 2a\ge x-6, откуда a\ge \dfrac{x-6}{2}.

Второе: 6x\ge x^{2}+a^{2}, откуда a^{2}\le 6x-x^{2}. Правую часть удобно записать как x(6-x).

Третье: x+a\gt 0, откуда a\gt -x.

Шаг 2. Заметим, что первое неравенство лишнее. Сравним две нижние границы для параметра: -x (из третьего) и \dfrac{x-6}{2} (из первого). Найдём их разность:

-x-\dfrac{x-6}{2}=\dfrac{-2x-(x-6)}{2}=\dfrac{-2x-x+6}{2}=\dfrac{6-3x}{2}.

На отрезке [1;2] имеем 3x\le 6, поэтому 6-3x\ge 0, значит разность неотрицательна: -x\ge \dfrac{x-6}{2}.

Получается, что третье требование не слабее первого. Если выполнено a\gt -x, то тем более выполнено a\ge \dfrac{x-6}{2}. Значит, первое неравенство можно просто забыть — оно ничего нового не добавляет.

Шаг 3. Остались два условия: a\gt -x и a^{2}\le x(6-x). Посмотрим, при каком x они самые мягкие.

Случай 1 — условие a\gt -x. Чем больше x, тем меньше число -x, а значит тем легче параметру его превзойти. Самое мягкое требование — при x=2, там оно превращается в a\gt -2.

Случай 2 — условие a^{2}\le x(6-x). Разберёмся, как ведёт себя правая часть на отрезке [1;2]. Это квадратный трёхчлен 6x-x^{2} с отрицательным старшим коэффициентом; его вершина находится в точке x=\dfrac{6}{2}=3, а слева от вершины такая парабола возрастает. Наш отрезок [1;2] целиком лежит левее тройки, значит на нём выражение растёт: 1\cdot 5=5 при x=1 и 2\cdot 4=8 при x=2. Чем больше правая часть, тем легче выполнить неравенство, поэтому самое мягкое требование снова при x=2.

Шаг 4. Оба условия мягче всего в одной и той же точке — в правом конце отрезка. Отсюда важный вывод: если решение на отрезке существует хоть где-то, то точка x=2 подойдёт обязательно; а если не подходит даже она, то не подойдёт никакая другая точка отрезка. Значит, задача сводится к проверке одной точки.

Шаг 5. Подставляем x=2 во все три исходных неравенства.

Первое: 2\le 2a+6, то есть 2a\ge -4, откуда a\ge -2.

Второе: 6\cdot 2\ge 2^{2}+a^{2}, то есть 12\ge 4+a^{2}, откуда a^{2}\le 8. Извлекаем корень: |a|\le \sqrt{8}=2\sqrt{2}, то есть -2\sqrt{2}\le a\le 2\sqrt{2}.

Третье: 2+a\gt 0, откуда a\gt -2.

Шаг 6. Пересекаем условия. Требования a\ge -2 и a\gt -2 вместе дают строгое a\gt -2. Осталось наложить -2\sqrt{2}\le a\le 2\sqrt{2}. Так как 2\sqrt{2}\approx 2{,}83, левая граница -2\sqrt{2}\approx -2{,}83 лежит левее, чем -2, и потому ничего не отрезает.

В итоге остаётся -2\lt a\le 2\sqrt{2}.

Проверим границы. При a=-2 третье неравенство в точке x=2 даёт 2+(-2)=0\gt 0 — неверно, а в остальных точках отрезка ещё хуже, ведь там x меньше двух. Значит, -2 в ответ не входит. При a=2\sqrt{2} второе неравенство в точке x=2 даёт 12\ge 4+8=12 — верно, неравенство нестрогое, так что эта граница входит; третье даёт 2+2\sqrt{2}\gt 0 — верно; первое даёт 2\le 4\sqrt{2}+6 — верно.

Проверим себя ещё раз, взяв a=0 и x=2. Первое: 2\le 6 — верно. Второе: 12\ge 4+0 — верно. Третье: 2+0=2\gt 0 — верно. Решение есть, всё сходится.