Задание 19 ЕГЭ по математике №00042212

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$.

Шаг 1. При $a\gt 0$ первое уравнение задаёт квадрат с вершинами $(a;0)$, $(0;a)$, $(-a;0)$, $(0;-a)$. Второе уравнение — верхняя половина параболы $x=y^{2}-7$: кривая начинается в точке $(-7;0)$ и возрастает.

Так как $y\ge 0$, общие точки могут лежать только на двух верхних сторонах квадрата: правой $x+y=a$ ($0\le x\le a$) и левой $y-x=a$ ($-a\le x\le 0$). Верхняя вершина $(0;a)$ принадлежит обеим сторонам.

Шаг 2. Правая сторона: $y=a-x$, $0\le x\le a$. На ней $a-x$ убывает от $a$ до $0$, а $\sqrt{x+7}$ возрастает от $\sqrt{7}$. Разность $a-x-\sqrt{x+7}$ убывает, в конце стороны она отрицательна, поэтому общая точка есть (и ровно одна) тогда и только тогда, когда в начале стороны $a\ge\sqrt{7}$. При $a=\sqrt{7}$ это верхняя вершина $\left(0;\sqrt{7}\right)$, при $a\gt\sqrt{7}$ — точка с $x\gt 0$.

Шаг 3. Левая сторона: $x+a=\sqrt{x+7}$ при $-a\le x\le 0$. Сделаем замену $u=\sqrt{x+7}\ge 0$, $x=u^{2}-7$:

$$u^{2}-7+a=u\iff a=7+u-u^{2}.$$

Ограничения: $x\le 0$ означает $u\le\sqrt{7}$, а условие $x\ge -a$ равносильно $y=x+a=u\ge 0$ и выполнено. Значит, нужно считать корни $u\in\left[0;\sqrt{7}\right]$ уравнения $a=\varphi(u)$, где $\varphi(u)=7+u-u^{2}$.

Это парабола ветвями вниз с вершиной при $u=\dfrac{1}{2}$: $\varphi\left(\dfrac{1}{2}\right)=7+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{29}{4}$. На концах: $\varphi(0)=7$, $\varphi\left(\sqrt{7}\right)=\sqrt{7}$. На $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ она растёт от $7$ до $\dfrac{29}{4}$, на $\left[\dfrac{1}{2};\sqrt{7}\right]$ убывает от $\dfrac{29}{4}$ до $\sqrt{7}$.

Поэтому на левой стороне: при $\sqrt{7}\le a\lt 7$ — одна точка; при $7\le a\lt\dfrac{29}{4}$ — две; при $a=\dfrac{29}{4}$ — одна (прямая $y=x+a$ касается кривой в точке $\left(-\dfrac{27}{4};\dfrac{1}{2}\right)$); при $a\lt\sqrt{7}$ и $a\gt\dfrac{29}{4}$ — ни одной. Значение $a=7$ — момент, когда левая вершина квадрата $(-7;0)$ совпадает с началом кривой.

Шаг 4. Складываем, помня, что при $a=\sqrt{7}$ обе стороны дают одну и ту же точку $\left(0;\sqrt{7}\right)$:

— $0\lt a\lt\sqrt{7}$: решений нет;

— $a=\sqrt{7}$: одно решение;

— $\sqrt{7}\lt a\lt 7$: $1+1=2$;

— $7\le a\lt\dfrac{29}{4}$: $1+2=3$;

— $a=\dfrac{29}{4}$: $1+1=2$;

— $a\gt\dfrac{29}{4}$: $1+0=1$.

Ровно два решения при $\sqrt{7}\lt a\lt 7$ и при $a=\dfrac{29}{4}$.

Проверим себя при $a=\dfrac{29}{4}$: на левой стороне $u^{2}-u+\dfrac{1}{4}=0$, то есть $u=\dfrac{1}{2}$ — одна точка $\left(-\dfrac{27}{4};\dfrac{1}{2}\right)$; на правой стороне одна точка с $x\gt 0$, так как $\dfrac{29}{4}\gt\sqrt{7}$. Всего два решения.