Задание 19 ЕГЭ по математике №00042211

Из второго уравнения $y=\sqrt{x+4}\ge 0$ и $x\ge -4$. Поэтому $|y|=y$, и каждому $x$ соответствует ровно одно $y$. Подставив $y$ в первое уравнение, получаем: число решений системы равно числу корней уравнения

$$f(x)=a,\qquad f(x)=|x|+\sqrt{x+4},\quad x\ge -4.$$

Шаг 1. При $x\ge 0$ функция $f(x)=x+\sqrt{x+4}$ — сумма двух возрастающих функций, она возрастает от $f(0)=2$ до $+\infty$. Каждое значение $a\gt 2$ она принимает здесь ровно один раз, причём при $x\gt 0$.

Шаг 2. При $-4\le x\le 0$ функция равна $f(x)=-x+\sqrt{x+4}$. Найдём производную:

$$f'(x)=-1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}.$$

Она равна нулю при $\sqrt{x+4}=\dfrac{1}{2}$, то есть $x+4=\dfrac{1}{4}$, $x=-\dfrac{15}{4}$. Левее этой точки $\sqrt{x+4}\lt\dfrac{1}{2}$ и $f'\gt 0$, правее — $f'\lt 0$. Значения в характерных точках:

$$f(-4)=4,\qquad f\left(-\dfrac{15}{4}\right)=\dfrac{15}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{17}{4},\qquad f(0)=2.$$

Значит, на отрезке $\left[-4;-\dfrac{15}{4}\right]$ функция возрастает от $4$ до $\dfrac{17}{4}$, а на отрезке $\left[-\dfrac{15}{4};0\right]$ убывает от $\dfrac{17}{4}$ до $2$.

Шаг 3. Считаем корни при $a\gt 0$ (корень $x=0$ учитываем один раз):

— $0\lt a\lt 2$: корней нет;

— $a=2$: один корень $x=0$;

— $2\lt a\lt 4$: один корень при $x\gt 0$ и один на убывающем участке — два;

— $4\le a\lt\dfrac{17}{4}$: один корень при $x\gt 0$ и по одному на возрастающем и убывающем участках (при $a=4$ левый из них — сама точка $x=-4$) — три;

— $a=\dfrac{17}{4}$: корень при $x\gt 0$ и точка максимума $x=-\dfrac{15}{4}$ — два;

— $a\gt\dfrac{17}{4}$: только один корень при $x\gt 0$.

Ровно три решения при $4\le a\lt\dfrac{17}{4}$.

Проверим себя при $a=4$. При $x\ge 0$: $\sqrt{x+4}=4-x$, $x+4=16-8x+x^{2}$, $x^{2}-9x+12=0$; условию $4-x\ge 0$ удовлетворяет только $x=\dfrac{9-\sqrt{33}}{2}\approx 1{,}63$. При $x\lt 0$: $\sqrt{x+4}=4+x$, $x+4=x^{2}+8x+16$, $x^{2}+7x+12=0$, $x=-3$ или $x=-4$. Решения системы: $(-4;0)$, $(-3;1)$ и $\left(\dfrac{9-\sqrt{33}}{2};\dfrac{\sqrt{33}-1}{2}\right)$ — три.