Слева и справа стоят квадраты, поэтому применим школьный приём: A^2=B^2 равносильно (A-B)(A+B)=0. Считаем разность и сумму. Разность: (2x+a+1-\operatorname{tg}x)-(2x+a-1+\operatorname{tg}x)=2-2\operatorname{tg}x. Сумма: (2x+a+1-\operatorname{tg}x)+(2x+a-1+\operatorname{tg}x)=4x+2a.

Значит, уравнение распадается на произведение: 2(1-\operatorname{tg}x)\cdot2(2x+a)=0, то есть (1-\operatorname{tg}x)(2x+a)=0. Отсюда либо \operatorname{tg}x=1, либо x=-\dfrac{a}{2}. Не забываем про область определения: тангенс существует, поэтому на отрезке [0;\pi] точку x=\dfrac{\pi}{2} выкалываем.

Первый множитель: на [0;\pi] уравнение \operatorname{tg}x=1 даёт единственный корень x=\dfrac{\pi}{4} (он в области определения). Этот корень есть всегда, при любом a — он «бесплатный».

Второй множитель даёт кандидата x_0=-\dfrac{a}{2}. Он становится настоящим корнем, только если попадает в [0;\pi] и не совпадает с выколотой точкой \dfrac{\pi}{2}. Нам нужен ровно один корень, а один (\dfrac{\pi}{4}) уже есть — значит второй кандидат не должен добавлять нового корня.

Это случается в трёх ситуациях: во-первых, x_0 вообще вне отрезка [0;\pi]; во-вторых, x_0=\dfrac{\pi}{2} — тогда точка выколота и корнем не является; в-третьих, x_0=\dfrac{\pi}{4} — тогда он просто сливается с уже имеющимся корнем.

Переводим всё на язык a (помним, что a=-2x_0). Вне отрезка: условие x_0<0 даёт a>0, а условие x_0>\pi даёт a<-2\pi. Совпадение с \dfrac{\pi}{2} даёт a=-\pi. Совпадение с \dfrac{\pi}{4} даёт a=-\dfrac{\pi}{2}.

Ответ: a\in(-\infty;-2\pi)\cup\{-\pi\}\cup\left\{-\dfrac{\pi}{2}\right\}\cup(0;+\infty). Проверка краёв: при a=0 выходит x_0=0 — это второй, отдельный корень, уже два, не подходит; при a=-2\pi выходит x_0=\pi — снова второй корень. Поэтому 0 и -2\pi не берём, а изолированные -\pi и -\dfrac{\pi}{2} берём. Всё сходится.