ID: 00022368
Источник: ФИПИ
Слева и справа стоят квадраты, поэтому применим школьный приём: $A^2=B^2$ равносильно $(A-B)(A+B)=0$. Считаем разность и сумму. Разность: $(2x+a+1-\operatorname{tg}x)-(2x+a-1+\operatorname{tg}x)=2-2\operatorname{tg}x$. Сумма: $(2x+a+1-\operatorname{tg}x)+(2x+a-1+\operatorname{tg}x)=4x+2a$.
Значит, уравнение распадается на произведение: $2(1-\operatorname{tg}x)\cdot2(2x+a)=0$, то есть $(1-\operatorname{tg}x)(2x+a)=0$. Отсюда либо $\operatorname{tg}x=1$, либо $x=-\dfrac{a}{2}$. Не забываем про область определения: тангенс существует, поэтому на отрезке $[0;\pi]$ точку $x=\dfrac{\pi}{2}$ выкалываем.
Первый множитель: на $[0;\pi]$ уравнение $\operatorname{tg}x=1$ даёт единственный корень $x=\dfrac{\pi}{4}$ (он в области определения). Этот корень есть всегда, при любом $a$ — он «бесплатный».
Второй множитель даёт кандидата $x_0=-\dfrac{a}{2}$. Он становится настоящим корнем, только если попадает в $[0;\pi]$ и не совпадает с выколотой точкой $\dfrac{\pi}{2}$. Нам нужен ровно один корень, а один ($\dfrac{\pi}{4}$) уже есть — значит второй кандидат не должен добавлять нового корня.
Это случается в трёх ситуациях: во-первых, $x_0$ вообще вне отрезка $[0;\pi]$; во-вторых, $x_0=\dfrac{\pi}{2}$ — тогда точка выколота и корнем не является; в-третьих, $x_0=\dfrac{\pi}{4}$ — тогда он просто сливается с уже имеющимся корнем.
Переводим всё на язык $a$ (помним, что $a=-2x_0$). Вне отрезка: условие $x_0<0$ даёт $a>0$, а условие $x_0>\pi$ даёт $a<-2\pi$. Совпадение с $\dfrac{\pi}{2}$ даёт $a=-\pi$. Совпадение с $\dfrac{\pi}{4}$ даёт $a=-\dfrac{\pi}{2}$.
Ответ: $a\in(-\infty;-2\pi)\cup\{-\pi\}\cup\left\{-\dfrac{\pi}{2}\right\}\cup(0;+\infty)$. Проверка краёв: при $a=0$ выходит $x_0=0$ — это второй, отдельный корень, уже два, не подходит; при $a=-2\pi$ выходит $x_0=\pi$ — снова второй корень. Поэтому $0$ и $-2\pi$ не берём, а изолированные $-\pi$ и $-\dfrac{\pi}{2}$ берём. Всё сходится.