ID: 00022369
Источник: ФИПИ
Снова слева и справа квадраты, раскладываем в $(A-B)(A+B)=0$. Разность: $(2x+a+1+\operatorname{tg}x)-(2x+a-1-\operatorname{tg}x)=2+2\operatorname{tg}x$. Сумма: те же слагаемые в плюс дают $4x+2a$. Значит, уравнение равносильно $(1+\operatorname{tg}x)(2x+a)=0$: либо $\operatorname{tg}x=-1$, либо $x=-\dfrac{a}{2}$.
Область определения важна: на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ тангенс не существует на самих концах $\pm\dfrac{\pi}{2}$, поэтому реально работаем на открытом промежутке $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$.
Первый множитель: уравнение $\operatorname{tg}x=-1$ на этом промежутке даёт ровно один корень $x=-\dfrac{\pi}{4}$. Он есть всегда — это наш «бесплатный» корень.
Второй множитель даёт кандидата $x_0=-\dfrac{a}{2}$; он настоящий корень, только если $x_0\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ (концы-то выколоты!). Чтобы всего был ровно один корень, кандидат не должен давать нового: либо $x_0$ вне промежутка (в том числе ровно на выколотом конце $\pm\dfrac{\pi}{2}$), либо $x_0=-\dfrac{\pi}{4}$ (слился с уже имеющимся).
Переводим на язык $a$ (помним $a=-2x_0$): условие $x_0\le-\dfrac{\pi}{2}$ даёт $a\ge\pi$; условие $x_0\ge\dfrac{\pi}{2}$ даёт $a\le-\pi$; слияние $x_0=-\dfrac{\pi}{4}$ даёт $a=\dfrac{\pi}{2}$.
Ответ: $a\in(-\infty;-\pi]\cup\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\cup[\pi;+\infty)$. Обрати внимание на края: при $a=\pi$ получаем $x_0=-\dfrac{\pi}{2}$ — это выколотая точка, корнем не является, значит остаётся один корень, поэтому $\pi$ берём (скобка квадратная). Аналогично $a=-\pi$ даёт $x_0=\dfrac{\pi}{2}$ — тоже выколото, берём. Всё сходится.