Снова слева и справа квадраты, раскладываем в (A-B)(A+B)=0. Разность: (2x+a+1+\operatorname{tg}x)-(2x+a-1-\operatorname{tg}x)=2+2\operatorname{tg}x. Сумма: те же слагаемые в плюс дают 4x+2a. Значит, уравнение равносильно (1+\operatorname{tg}x)(2x+a)=0: либо \operatorname{tg}x=-1, либо x=-\dfrac{a}{2}.

Область определения важна: на отрезке \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right] тангенс не существует на самих концах \pm\dfrac{\pi}{2}, поэтому реально работаем на открытом промежутке \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right).

Первый множитель: уравнение \operatorname{tg}x=-1 на этом промежутке даёт ровно один корень x=-\dfrac{\pi}{4}. Он есть всегда — это наш «бесплатный» корень.

Второй множитель даёт кандидата x_0=-\dfrac{a}{2}; он настоящий корень, только если x_0\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right) (концы-то выколоты!). Чтобы всего был ровно один корень, кандидат не должен давать нового: либо x_0 вне промежутка (в том числе ровно на выколотом конце \pm\dfrac{\pi}{2}), либо x_0=-\dfrac{\pi}{4} (слился с уже имеющимся).

Переводим на язык a (помним a=-2x_0): условие x_0\le-\dfrac{\pi}{2} даёт a\ge\pi; условие x_0\ge\dfrac{\pi}{2} даёт a\le-\pi; слияние x_0=-\dfrac{\pi}{4} даёт a=\dfrac{\pi}{2}.

Ответ: a\in(-\infty;-\pi]\cup\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\cup[\pi;+\infty). Обрати внимание на края: при a=\pi получаем x_0=-\dfrac{\pi}{2} — это выколотая точка, корнем не является, значит остаётся один корень, поэтому \pi берём (скобка квадратная). Аналогично a=-\pi даёт x_0=\dfrac{\pi}{2} — тоже выколото, берём. Всё сходится.