Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028805

Слева корень, справа многочлен. Значит, применяем переход к равносильной системе с возведением в квадрат: равенство $\sqrt{P}=Q$ выполняется тогда и только тогда, когда $Q\geq 0$ и $P=Q^{2}$. Метод выбран не случайно: при возведении в квадрат старшие слагаемые $x^{4}$ и $64a^{2}$ сократятся, и останется уравнение, которое легко раскладывается на множители.

Возведём правую часть в квадрат:

$$(x^{2}+4x-8a)^{2}=x^{4}+16x^{2}+64a^{2}+8x^{3}-16ax^{2}-64ax.$$

Приравниваем к подкоренному выражению $x^{4}-16x^{2}+64a^{2}$. После сокращения одинаковых слагаемых остаётся

$$-16x^{2}=16x^{2}+8x^{3}-16ax^{2}-64ax,$$

то есть $8x^{3}+32x^{2}-16ax^{2}-64ax=0$.

Вынесем $8x$: $8x\big(x^{2}+4x-2ax-8a\big)=0$. В скобке группируем: $x(x+4)-2a(x+4)=(x+4)(x-2a)$. Получаем

$$8x(x+4)(x-2a)=0,$$

то есть кандидаты $x=0$, $x=-4$ и $x=2a$.

Каждый кандидат должен пройти проверку «правая часть неотрицательна», то есть $x^{2}+4x-8a\geq 0$.

Случай 1 — $x=0$: получаем $-8a\geq 0$, то есть $a\leq 0$.

Случай 2 — $x=-4$: получаем $16-16-8a=-8a\geq 0$, снова $a\leq 0$.

Случай 3 — $x=2a$: получаем $4a^{2}+8a-8a=4a^{2}\geq 0$ — верно при любом $a$, этот корень законен всегда.

Считаем количество различных корней. При $a\gt 0$ остаётся только $x=2a$ — один корень, мало. При $a=0$ корень $x=2a$ сливается с $x=0$, различных корней два — тоже мало.

При $a\lt 0$ годятся все три кандидата, и они различны, если $2a\ne -4$, то есть $a\ne -2$ (при $a=-2$ третий корень совпадает с $x=-4$, и остаётся всего два).

Проверим себя на $a=-1$: корни $0$, $-4$ и $-2$. Подставим $x=-2$: слева $\sqrt{16-64+64}=\sqrt{16}=4$, справа $4-8+8=4$ — сходится.