Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

Слева корень, справа многочлен. Значит, применяем переход к равносильной системе с возведением в квадрат: равенство \sqrt{P}=Q выполняется тогда и только тогда, когда Q\geq 0 и P=Q^{2}. Метод выбран не случайно: при возведении в квадрат старшие слагаемые x^{4} и 64a^{2} сократятся, и останется уравнение, которое легко раскладывается на множители.

Возведём правую часть в квадрат:

(x^{2}+4x-8a)^{2}=x^{4}+16x^{2}+64a^{2}+8x^{3}-16ax^{2}-64ax.

Приравниваем к подкоренному выражению x^{4}-16x^{2}+64a^{2}. После сокращения одинаковых слагаемых остаётся

-16x^{2}=16x^{2}+8x^{3}-16ax^{2}-64ax,

то есть 8x^{3}+32x^{2}-16ax^{2}-64ax=0.

Вынесем 8x: 8x\big(x^{2}+4x-2ax-8a\big)=0. В скобке группируем: x(x+4)-2a(x+4)=(x+4)(x-2a). Получаем

8x(x+4)(x-2a)=0,

то есть кандидаты x=0, x=-4 и x=2a.

Каждый кандидат должен пройти проверку «правая часть неотрицательна», то есть x^{2}+4x-8a\geq 0.

Случай 1 — x=0: получаем -8a\geq 0, то есть a\leq 0.

Случай 2 — x=-4: получаем 16-16-8a=-8a\geq 0, снова a\leq 0.

Случай 3 — x=2a: получаем 4a^{2}+8a-8a=4a^{2}\geq 0 — верно при любом a, этот корень законен всегда.

Считаем количество различных корней. При a\gt 0 остаётся только x=2a — один корень, мало. При a=0 корень x=2a сливается с x=0, различных корней два — тоже мало.

При a\lt 0 годятся все три кандидата, и они различны, если 2a\ne -4, то есть a\ne -2 (при a=-2 третий корень совпадает с x=-4, и остаётся всего два).

Проверим себя на a=-1: корни 0, -4 и -2. Подставим x=-2: слева \sqrt{16-64+64}=\sqrt{16}=4, справа 4-8+8=4 — сходится.