Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028803

Слева стоит квадратный корень, справа — многочлен. С корнем работают так: возводят обе части в квадрат, но только вместе с условием, что правая часть неотрицательна. Этот метод здесь выбран потому, что после возведения в квадрат старшие степени $x^{4}$ и слагаемые с $a^{2}$ взаимно уничтожаются, и остаётся уравнение, которое раскладывается на множители. Графики строить не нужно: всё решается разбором условий.

Равенство $\sqrt{P}=Q$ равносильно системе: $Q\geq 0$ и $P=Q^{2}$. Условие $P\geq 0$ отдельно писать не нужно — оно следует из равенства $P=Q^{2}$.

Возводим в квадрат правую часть:

$$(x^{2}+2x-3a)^{2}=x^{4}+4x^{2}+9a^{2}+4x^{3}-6ax^{2}-12ax.$$

Приравниваем это к подкоренному выражению $x^{4}-4x^{2}+9a^{2}$. Одинаковые слагаемые $x^{4}$ и $9a^{2}$ сокращаются, остаётся

$$-4x^{2}=4x^{2}+4x^{3}-6ax^{2}-12ax,$$

то есть $4x^{3}+8x^{2}-6ax^{2}-12ax=0$.

Выносим общий множитель $2x$: $2x\big(2x^{2}+4x-3ax-6a\big)=0$. В скобке снова группируем: $2x(x+2)-3a(x+2)=(x+2)(2x-3a)$. Итого

$$2x(x+2)(2x-3a)=0.$$

Значит, кандидаты в корни: $x=0$, $x=-2$ и $x=\dfrac{3a}{2}$. Но каждый ещё обязан проходить проверку $x^{2}+2x-3a\geq 0$ (правая часть исходного равенства не может быть отрицательной).

Случай 1 — $x=0$: подставляем и получаем $0+0-3a\geq 0$, то есть $a\leq 0$.

Случай 2 — $x=-2$: получаем $4-4-3a=-3a\geq 0$, снова $a\leq 0$.

Случай 3 — $x=\dfrac{3a}{2}$: подставляем и получаем $\dfrac{9a^{2}}{4}+3a-3a=\dfrac{9a^{2}}{4}\geq 0$ — верно всегда, этот корень законен при любом $a$.

Теперь считаем, когда различных корней ровно три. При $a\gt 0$ первые два кандидата отпадают, остаётся один корень — мало. При $a=0$ третий корень равен нулю и сливается с первым: остаются лишь $x=0$ и $x=-2$, то есть два корня — тоже мало.

При $a\lt 0$ законны все три кандидата. Различны они, если $\dfrac{3a}{2}\ne 0$ (это уже так) и $\dfrac{3a}{2}\ne -2$, то есть $a\ne -\dfrac43$. Именно при $a\lt 0$ и $a\ne-\dfrac43$ корней ровно три.

Проверим себя на $a=-1$: корни $0$, $-2$ и $-1{,}5$. Подставим $x=-1{,}5$: слева $\sqrt{5{,}0625-9+9}=\sqrt{5{,}0625}=2{,}25$, справа $2{,}25-3+3=2{,}25$ — сходится.