Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 9a в квадрате конец аргумента равно x в квадрате плюс 2x минус 3a имеет ровно 3 решения.

левая круглая скобка минус бесконечность; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка объединение левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

№2. Задание 18

ID: 00028803

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x^{4}-4x^{2}+9a^{2}}=x^{2}+2x-3a$

имеет ровно 3 решения.

Источник: ФИПИ

Решение

Слева стоит квадратный корень, справа — многочлен. С корнем работают так: возводят обе части в квадрат, но только вместе с условием, что правая часть неотрицательна. Этот метод здесь выбран потому, что после возведения в квадрат старшие степени $x^{4}$ и слагаемые с $a^{2}$ взаимно уничтожаются, и остаётся уравнение, которое раскладывается на множители. Графики строить не нужно: всё решается разбором условий.

Равенство $\sqrt{P}=Q$ равносильно системе: $Q\geq 0$ и $P=Q^{2}$ . Условие $P\geq 0$ отдельно писать не нужно — оно следует из равенства $P=Q^{2}$ .

Возводим в квадрат правую часть:

$(x^{2}+2x-3a)^{2}=x^{4}+4x^{2}+9a^{2}+4x^{3}-6ax^{2}-12ax.$

Приравниваем это к подкоренному выражению $x^{4}-4x^{2}+9a^{2}$ . Одинаковые слагаемые $x^{4}$ и $9a^{2}$ сокращаются, остаётся

$-4x^{2}=4x^{2}+4x^{3}-6ax^{2}-12ax,$

то есть $4x^{3}+8x^{2}-6ax^{2}-12ax=0$ .

Выносим общий множитель $2x$ : $2x\big(2x^{2}+4x-3ax-6a\big)=0$ . В скобке снова группируем: $2x(x+2)-3a(x+2)=(x+2)(2x-3a)$ . Итого

$2x(x+2)(2x-3a)=0.$

Значит, кандидаты в корни: $x=0$ , $x=-2$ и $x=\dfrac{3a}{2}$ . Но каждый ещё обязан проходить проверку $x^{2}+2x-3a\geq 0$ (правая часть исходного равенства не может быть отрицательной).

Случай 1 — $x=0$ : подставляем и получаем $0+0-3a\geq 0$ , то есть $a\leq 0$ .

Случай 2 — $x=-2$ : получаем $4-4-3a=-3a\geq 0$ , снова $a\leq 0$ .

Случай 3 — $x=\dfrac{3a}{2}$ : подставляем и получаем $\dfrac{9a^{2}}{4}+3a-3a=\dfrac{9a^{2}}{4}\geq 0$ — верно всегда, этот корень законен при любом $a$ .

Теперь считаем, когда различных корней ровно три. При $a\gt 0$ первые два кандидата отпадают, остаётся один корень — мало. При $a=0$ третий корень равен нулю и сливается с первым: остаются лишь $x=0$ и $x=-2$ , то есть два корня — тоже мало.

При $a\lt 0$ законны все три кандидата. Различны они, если $\dfrac{3a}{2}\ne 0$ (это уже так) и $\dfrac{3a}{2}\ne -2$ , то есть $a\ne -\dfrac43$ . Именно при $a\lt 0$ и $a\ne-\dfrac43$ корней ровно три.

Проверим себя на $a=-1$ : корни $0$ , $-2$ и $-1{,}5$ . Подставим $x=-1{,}5$ : слева $\sqrt{5{,}0625-9+9}=\sqrt{5{,}0625}=2{,}25$ , справа $2{,}25-3+3=2{,}25$ — сходится.

Ответ

$\left(-\infty;-\dfrac{4}{3}\right)\cup\left(-\dfrac{4}{3};0\right)$