ID: 00013729
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{4x^{2}-(4a+2)x+2a}
имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Источник: ФИПИ
Снова \sqrt{P}=\sqrt{Q}: приравниваем подкоренные при их неотрицательности. Цель — ровно один корень на [0;1].
x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a\ \Rightarrow\ 3x^2-(4a+2)x+(a^2+2a)=0.
Дискриминант равен 4(a-1)^2 — полный квадрат, корни x=\dfrac{(4a+2)\pm2|a-1|}{6}.
Оставляем корни на [0;1] с неотрицательными подкоренными; ровно один получается при a\in\left[-\dfrac12;0\right) и в точке a=1 (слияние в x=1).
Ответ: \left[-\dfrac12;0\right)\cup\{1\}.
\left[-\dfrac12;\,0\right)\cup\{1\}