ID: 00013729
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{4x^{2}-(4a+2)x+2a}$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Источник: ФИПИ
Снова $\sqrt{P}=\sqrt{Q}$: приравниваем подкоренные при их неотрицательности. Цель — ровно один корень на $[0;1]$.
$$x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a\ \Rightarrow\ 3x^2-(4a+2)x+(a^2+2a)=0.$$
Дискриминант равен $4(a-1)^2$ — полный квадрат, корни $x=\dfrac{(4a+2)\pm2|a-1|}{6}$.
Оставляем корни на $[0;1]$ с неотрицательными подкоренными; ровно один получается при $a\in\left[-\dfrac12;0\right)$ и в точке $a=1$ (слияние в $x=1$).
$\left[-\dfrac12;\,0\right)\cup\{1\}$