Global EE

Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013729

Задание №19. Задача с параметром

Уравнения с параметром, содержащие радикалы

№2. Задание 19

ID: 00013729

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{4x^{2}-(4a+2)x+2a}$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Источник: ФИПИ

Решение

Снова $\sqrt{P}=\sqrt{Q}$: приравниваем подкоренные при их неотрицательности. Цель — ровно один корень на $[0;1]$.

$$x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a\ \Rightarrow\ 3x^2-(4a+2)x+(a^2+2a)=0.$$

Дискриминант равен $4(a-1)^2$ — полный квадрат, корни $x=\dfrac{(4a+2)\pm2|a-1|}{6}$.

Оставляем корни на $[0;1]$ с неотрицательными подкоренными; ровно один получается при $a\in\left[-\dfrac12;0\right)$ и в точке $a=1$ (слияние в $x=1$).

Ответ

$\left[-\dfrac12;\,0\right)\cup\{1\}$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Уравнения с параметром, содержащие радикалы» (8)