Расположение… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022361

Хитрость: посмотрим на уравнение как на квадратное относительно $a$ — так оно легко разложится. Перепишем: $a^2+(x-6)a+(9|x|-2x^2-3x)=0$.

Дискриминант по $a$ равен $(x-6)^2-4(9|x|-2x^2-3x)=9x^2-36|x|+36=9(|x|-2)^2$. Он полный квадрат — вот почему всё раскладывается. Тогда $a=\dfrac{6-x\pm3\big||x|-2\big|}{2}$.

Раскроем модули по знаку $x$ и получим четыре прямые-луча на плоскости $(x;a)$: при $x\ge0$ это $a=x$ и $a=6-2x$; при $x<0$ это $a=6+x$ и $a=-2x$.

Все четыре луча выходят из двух точек: $(0;0)$ (там встречаются $a=x$ и $a=-2x$) и $(0;6)$ (там встречаются $a=6-2x$ и $a=6+x$). Число корней при данном $a$ — сколько лучей пересекает горизонталь высоты $a$.

Смотрим, при каких $a$ каждый луч «включён»: $a=x$ живёт при $a\ge0$, $a=-2x$ — при $a>0$, $a=6-2x$ — при $a\le6$, $a=6+x$ — при $a<6$.

При $a<0$ работают только два луча — $2$ корня. При $a=0$ — три луча (луч $a=-2x$ включается лишь при $a>0$) — $3$ корня. При $06$ — два луча ($2$ корня).

Значит менее четырёх корней получается всюду, кроме полосы $0