Хитрость: посмотрим на уравнение как на квадратное относительно a — так оно легко разложится. Перепишем: a^2+(x-6)a+(9|x|-2x^2-3x)=0.

Дискриминант по a равен (x-6)^2-4(9|x|-2x^2-3x)=9x^2-36|x|+36=9(|x|-2)^2. Он полный квадрат — вот почему всё раскладывается. Тогда a=\dfrac{6-x\pm3\big||x|-2\big|}{2}.

Раскроем модули по знаку x и получим четыре прямые-луча на плоскости (x;a): при x\ge0 это a=x и a=6-2x; при x<0 это a=6+x и a=-2x.

Все четыре луча выходят из двух точек: (0;0) (там встречаются a=x и a=-2x) и (0;6) (там встречаются a=6-2x и a=6+x). Число корней при данном a — сколько лучей пересекает горизонталь высоты a.

Смотрим, при каких a каждый луч «включён»: a=x живёт при a\ge0, a=-2x — при a>0, a=6-2x — при a\le6, a=6+x — при a<6.

При a<0 работают только два луча — 2 корня. При a=0 — три луча (луч a=-2x включается лишь при a>0) — 3 корня. При 06 — два луча (2 корня).

Значит менее четырёх корней получается всюду, кроме полосы $0