Расположение… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022362

Сначала уберём лишние буквы удобной заменой. Пусть $b=a-3$; тогда $(a-3)^2=b^2$, а модули превращаются в $|x-b|$ и $|x+b|$. Уравнение становится симметричным и аккуратным: $x^4+b^2=|x-b|+|x+b|$.

Правая часть — это ровно $2\max(|x|,|b|)$ (сумма расстояний от $x$ до $b$ и до $-b$). Заодно уравнение чётно по $x$: если $x$ — корень, то и $-x$ корень. Значит ненулевые корни идут парами, и нечётное число корней (то есть один) возможно лишь тогда, когда корнем является сам $x=0$.

Подставим $x=0$: $b^2=2|b|$, откуда $|b|=0$ или $|b|=2$ — это ключевые высоты.

Корней нет. Пусть $|b|>2$. При $|x|<|b|$ уравнение даёт $x^4=2|b|-b^2=|b|(2-|b|)<0$ — решений нет. При $|x|\ge|b|$ нужно $2|x|=x^4+b^2\ge x^4$, то есть $|x|^3\le2$, $|x|\le\sqrt[3]2\approx1{,}26$; но одновременно $|x|\ge|b|>2$ — противоречие. Значит при $|b|>2$ корней нет вовсе — это «менее двух».

Ровно один корень. Пусть $|b|=2$. Тогда $x=0$ — корень, а других нет: при $|x|<2$ выходит $x^4=0$ (тот же ноль), при $|x|\ge2$ левая часть $x^4+4$ уже строго больше $2|x|$. Один корень — снова «менее двух».

Два и больше. Если $|b|<2$, то $x^4=2|b|-b^2>0$ даёт пару корней $x=\pm\sqrt[4]{2|b|-b^2}$ — уже не меньше двух (например, при $b=0$, то есть $a=3$, корней целых три: $0$ и $\pm\sqrt[3]2$).

Итак, «менее двух корней» равносильно $|b|\ge2$, то есть $|a-3|\ge2$, то есть $a\le1$ или $a\ge5$. Границы $a=1$ и $a=5$ дают ровно один корень $x=0$ — их включаем.