ID: 00008946
Периметр треугольника $ABC$ равен $36$. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что $AC = 9$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle ACB = 90^{\circ}$.
Источник: ФИПИ
Периметр $ABC$ равен $36$; $E$, $F$ — середины $AB$, $BC$; средняя линия $EF$ касается вписанной окружности.
Пункт а. Средняя линия $EF\parallel AC$ и $EF=\dfrac{AC}{2}$. Прямые $AC$ и $EF$ — две параллельные касательные к вписанной окружности, расстояние между ними равно диаметру $2r$, и оно же равно половине высоты из $B$. Связав это с формулой площади $S=pr$ ($p$ — полупериметр), получаем $AC=\dfrac{P}{4}=\dfrac{36}{4}=9$. Доказано.
Пункт б. При $\angle ACB=90^\circ$: $AB+BC=36-9=27$, и $AB^2=AC^2+BC^2$. Из $(27-BC)^2=81+BC^2$: $729-54BC=81$, $BC=12$, $AB=15$. Площадь $S=\dfrac12\cdot AC\cdot BC=\dfrac12\cdot9\cdot12=54$.
$54$