Задание 18 ЕГЭ по математике №00008946

Задание №18. Планиметрическая задача

Вписанные окружности и треугольники

№2. Задание 18

ID: 00008946

Периметр треугольника $$ABC$$ равен $$36$$ . Точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Отрезок $$EF$$ касается окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$ .

а) Докажите, что $$AC = 9$$ .

б) Найдите площадь треугольника $$ABC$$ , если $\angle ACB = 90^{\circ}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Периметр $$ABC$$ равен $$36$$ ; $$E$$ , $$F$$ — середины $$AB$$ , $$BC$$ ; средняя линия $$EF$$ касается вписанной окружности.

Пункт а. Средняя линия $EF\parallel AC$ и $EF=\dfrac{AC}{2}$ . Прямые $$AC$$ и $$EF$$ — две параллельные касательные к вписанной окружности, расстояние между ними равно диаметру $$2r$$ , и оно же равно половине высоты из $$B$$ . Связав это с формулой площади $$S=pr$$ ( $$p$$ — полупериметр), получаем $AC=\dfrac{P}{4}=\dfrac{36}{4}=9$ . Доказано.

Пункт б. При $\angle ACB=90^\circ$ : $$AB+BC=36-9=27$$ , и $$AB^2=AC^2+BC^2$$ . Из $$(27-BC)^2=81+BC^2$$ : $$729-54BC=81$$ , $$BC=12$$ , $$AB=15$$ . Площадь $S=\dfrac12\cdot AC\cdot BC=\dfrac12\cdot9\cdot12=54$ .

Ответ

$$54$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Вписанные окружности и треугольники» (8)