Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042198

$D$ — середина $BC$, $E$ — точка на медиане $AD$, $F$ — середина $BE$, $G$ — точка пересечения $CF$ и $AD$.

Пункт а. Докажем, что $ED:AD=5:6$.

Проведём через точку $E$ прямую, параллельную $BC$, и обозначим через $X$ её пересечение с прямой $CF$.

Треугольники $FEX$ и $FBC$ равны: $FE=FB$ ($F$ — середина $BE$), углы при вершине $F$ вертикальные, а $\angle FEX=\angle FBC$ как накрест лежащие при $EX\parallel BC$. Значит, $EX=BC=2DC$.

Треугольники $GEX$ и $GDC$ подобны ($EX\parallel DC$), поэтому

$$\dfrac{EG}{GD}=\dfrac{EX}{DC}=2,\qquad EG=\dfrac23ED.$$

Выразим площадь $EFG$ через площадь $ABC$. Треугольники $EFG$ и $EBD$ имеют общий угол при вершине $E$, поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$$\dfrac{S_{EFG}}{S_{EBD}}=\dfrac{EF}{EB}\cdot\dfrac{EG}{ED}=\dfrac12\cdot\dfrac23=\dfrac13.$$

Треугольники $EBD$ и $ABD$ имеют общую высоту из вершины $B$, поэтому $S_{EBD}=\dfrac{ED}{AD}\cdot S_{ABD}$. Медиана $AD$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие части: $S_{ABD}=\dfrac12S_{ABC}$. Итак,

$$S_{EFG}=\dfrac13\cdot\dfrac{ED}{AD}\cdot\dfrac12S_{ABC}=\dfrac16\cdot\dfrac{ED}{AD}\cdot S_{ABC}.$$

По условию $S_{EFG}=\dfrac{5}{36}S_{ABC}$:

$$\dfrac16\cdot\dfrac{ED}{AD}=\dfrac{5}{36}\ \Rightarrow\ \dfrac{ED}{AD}=\dfrac{30}{36}=\dfrac56.$$

То есть $ED:AD=5:6$. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь $BDGF$ при $BC=8$, $AB=10$, $AC=2\sqrt{73}$.

Против стороны $AC$ лежит угол $B$. По теореме косинусов:

$$\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{100+64-292}{160}=-\dfrac{128}{160}=-\dfrac45,\qquad \sin B=\dfrac35.$$

$$S_{ABC}=\dfrac12\cdot10\cdot8\cdot\dfrac35=24.$$

Площадь треугольника $EBD$: $S_{EBD}=\dfrac56\cdot\dfrac{24}{2}=10$. Треугольник $EFG$ занимает треть её: $S_{EFG}=\dfrac{10}{3}$ (и правда, $\dfrac{5}{36}\cdot24=\dfrac{10}{3}$). Четырёхугольник $BDGF$ — остальная часть треугольника $EBD$:

$$S_{BDGF}=10-\dfrac{10}{3}=\dfrac{20}{3}.$$

Проверим себя координатами: $B(0;0)$, $C(8;0)$; из $AB=10$ и $\cos B=-\dfrac45$ получаем $A(-8;6)$, и действительно $AC^2=16^2+6^2=292$. Тогда $D(4;0)$, $E$ делит $AD$ так, что $AE=\dfrac16AD$: $E\left(-6;5\right)$, $F(-3;2{,}5)$. По пункту а $GD=\dfrac13ED$, поэтому $G=\left(\dfrac23;\,\dfrac53\right)$; эта точка лежит и на прямой $CF$ (при $y=\dfrac53$ на отрезке от $C(8;0)$ к $F(-3;2{,}5)$ получаем $x=8-11\cdot\dfrac23=\dfrac23$). Разобьём $BDGF$ диагональю $BG$: $S_{BDG}=\dfrac12\cdot4\cdot\dfrac53=\dfrac{10}{3}$, а $S_{BGF}=\dfrac12\left|x_Gy_F-x_Fy_G\right|=\dfrac12\left(\dfrac23\cdot\dfrac52+3\cdot\dfrac53\right)=\dfrac{10}{3}$. Сумма $\dfrac{20}{3}$. Совпало.