Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022401

а) Диагональ $BD$ делит трапецию на треугольники $ABD$ и $BCD$. По условию первый равнобедренный с основанием $AD$, значит $AB=BD$; второй равнобедренный с основанием $CD$, значит $BC=BD$. Отсюда $AB=BC=BD$.

Раз $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и $\angle BAC=\angle BCA$. Но $BC\parallel AD$, а $AC$ — секущая, поэтому $\angle BCA=\angle CAD$ как накрест лежащие. Значит $\angle BAC=\angle CAD$, то есть $AC$ — биссектриса угла $BAD$. Доказано.

б) Из пункта а) $AB=BC=BD=8{,}5$, а $AC=15$. Координаты: $A(0;0)$, $D(d;0)$, $B(b;h)$, $C(c;h)$. Из $AB=BD$ получаем $d=2b$; при этом $c=b+8{,}5$ (так как $BC=8{,}5$) и $h^2=8{,}5^2-b^2$.

Подставим в $AC^2=c^2+h^2=15^2$: $(b+8{,}5)^2+8{,}5^2-b^2=225$, то есть $17b+2\cdot8{,}5^2=225$; отсюда $17b=225-144{,}5=80{,}5$ и $b=\dfrac{161}{34}$.

Тогда $c-d=c-2b=8{,}5-b=\dfrac{289-161}{34}=\dfrac{64}{17}$, а $h^2=8{,}5^2-b^2=\dfrac{57600}{1156}$. Значит $CD^2=(c-d)^2+h^2=\dfrac{16384}{1156}+\dfrac{57600}{1156}=\dfrac{73984}{1156}=64$, то есть $CD=8$. Всё сходится.