а) Диагональ BD делит трапецию на треугольники ABD и BCD. По условию первый равнобедренный с основанием AD, значит AB=BD; второй равнобедренный с основанием CD, значит BC=BD. Отсюда AB=BC=BD.

Раз AB=BC, треугольник ABC равнобедренный, и \angle BAC=\angle BCA. Но BC\parallel AD, а AC — секущая, поэтому \angle BCA=\angle CAD как накрест лежащие. Значит \angle BAC=\angle CAD, то есть AC — биссектриса угла BAD. Доказано.

б) Из пункта а) AB=BC=BD=8{,}5, а AC=15. Координаты: A(0;0), D(d;0), B(b;h), C(c;h). Из AB=BD получаем d=2b; при этом c=b+8{,}5 (так как BC=8{,}5) и h^2=8{,}5^2-b^2.

Подставим в AC^2=c^2+h^2=15^2: (b+8{,}5)^2+8{,}5^2-b^2=225, то есть 17b+2\cdot8{,}5^2=225; отсюда 17b=225-144{,}5=80{,}5 и b=\dfrac{161}{34}.

Тогда c-d=c-2b=8{,}5-b=\dfrac{289-161}{34}=\dfrac{64}{17}, а h^2=8{,}5^2-b^2=\dfrac{57600}{1156}. Значит CD^2=(c-d)^2+h^2=\dfrac{16384}{1156}+\dfrac{57600}{1156}=\dfrac{73984}{1156}=64, то есть CD=8. Всё сходится.