Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022397

Найдём недостающий угол: $\angle NKL=360^\circ-90^\circ-60^\circ-60^\circ=150^\circ$. Центр $O$ — пересечение биссектрис углов, радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам.

а) Пусть окружность касается сторон $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ в точках $P$, $Q$, $A$, $B$. Между точками касания, прилегающими к вершине, центральный угол равен $180^\circ$ минус угол вершины. Дуги: у $K$ дуга $BP=180^\circ-150^\circ=30^\circ$; у $L$ дуга $PQ=180^\circ-60^\circ=120^\circ$; у $M$ дуга $QA=180^\circ-60^\circ=120^\circ$; у $N$ дуга $AB=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Сумма $30^\circ+120^\circ+120^\circ+90^\circ=360^\circ$ — верно.

Луч $OL$ смотрит в середину дуги $PQ$. Отсчитывая от радиуса $OQ$: радиус $OA$ повёрнут на дугу $QA=120^\circ$, а направление $OL$ — в другую сторону на половину дуги $PQ$, то есть на $60^\circ$. Между $OA$ и $OL$ выходит $120^\circ+60^\circ=180^\circ$, значит, это противоположные лучи, и точки $L$, $O$, $A$ лежат на одной прямой (причём $O$ между $L$ и $A$). Утверждение доказано.

б) Пусть $r$ — радиус. Тогда $OL=\dfrac{r}{\sin(\angle L/2)}=\dfrac{r}{\sin30^\circ}=2r$, а $OA=r$. Так как $O$ между $L$ и $A$: $LA=OL+OA=2r+r=3r=3$, откуда $r=1$. Дальше $MN=MA+AN$, где $AN=\dfrac{r}{\tan45^\circ}=r$ и $MA=\dfrac{r}{\tan30^\circ}=r\sqrt3$. Значит, $MN=r\sqrt3+r=r(\sqrt3+1)=1\cdot(\sqrt3+1)=1+\sqrt3$. Проверка: $r=1>0$, окружность есть, $MN=1+\sqrt3\approx2{,}73$ — всё сходится.