Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042197

Точка $D$ — середина $BC$, точка $E$ лежит на медиане $AD$, $F$ — середина $BE$, а $G$ — точка пересечения $CF$ с медианой.

Пункт а. Докажем, что $AE:AD=1:3$.

Применим теорему Менелая к треугольнику $EBD$ и прямой $CF$. Эта прямая пересекает сторону $BE$ в точке $F$, сторону $ED$ в точке $G$ и продолжение стороны $BD$ в точке $C$:

$$\dfrac{BF}{FE}\cdot\dfrac{EG}{GD}\cdot\dfrac{DC}{CB}=1.$$

Здесь $\dfrac{BF}{FE}=1$ ($F$ — середина $BE$) и $\dfrac{DC}{CB}=\dfrac12$ ($D$ — середина $BC$). Значит, $\dfrac{EG}{GD}=2$, то есть $EG=\dfrac23ED$.

Выразим площадь $EFG$ через площадь $ABC$. Треугольники $EFG$ и $EBD$ имеют общий угол при вершине $E$, поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$$\dfrac{S_{EFG}}{S_{EBD}}=\dfrac{EF}{EB}\cdot\dfrac{EG}{ED}=\dfrac12\cdot\dfrac23=\dfrac13.$$

Треугольники $EBD$ и $ABD$ имеют общую высоту из вершины $B$, поэтому $S_{EBD}=\dfrac{ED}{AD}\cdot S_{ABD}$. Медиана $AD$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие части: $S_{ABD}=\dfrac12S_{ABC}$. Итак,

$$S_{EFG}=\dfrac13\cdot\dfrac{ED}{AD}\cdot\dfrac12S_{ABC}=\dfrac16\cdot\dfrac{ED}{AD}\cdot S_{ABC}.$$

По условию $S_{EFG}=\dfrac19S_{ABC}$:

$$\dfrac16\cdot\dfrac{ED}{AD}=\dfrac19\ \Rightarrow\ \dfrac{ED}{AD}=\dfrac69=\dfrac23.$$

Тогда $AE=AD-ED=\dfrac13AD$, то есть $AE:AD=1:3$. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь $BDGF$ при $BC=9$, $AB=13$, $AC=4\sqrt{10}$.

Удобнее взять угол $B$ — он лежит между известными сторонами $AB$ и $BC$, а против него сторона $AC$. По теореме косинусов:

$$\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{169+81-160}{2\cdot13\cdot9}=\dfrac{90}{234}=\dfrac{5}{13},\qquad \sin B=\dfrac{12}{13}.$$

$$S_{ABC}=\dfrac12\cdot13\cdot9\cdot\dfrac{12}{13}=54.$$

Площадь треугольника $EBD$: $S_{EBD}=\dfrac{ED}{AD}\cdot\dfrac12S_{ABC}=\dfrac23\cdot27=18$. Треугольник $EFG$ составляет треть этой площади, то есть $6$. Четырёхугольник $BDGF$ — оставшаяся часть треугольника $EBD$:

$$S_{BDGF}=18-6=12.$$

Проверим себя. Отношение $EG:GD=2:1$ получается и без теоремы Менелая: если $H$ — середина $ED$, то средняя линия $FH$ треугольника $BED$ равна $\dfrac12DC$, и из подобия треугольников $GFH$ и $GCD$ имеем $GH=\dfrac12GD$, откуда снова $EG=\dfrac23ED$. Площадь $ABC$ проверим через высоту из вершины $A$: $h_A=AB\cdot\sin B=13\cdot\dfrac{12}{13}=12$, $S_{ABC}=\dfrac12\cdot BC\cdot h_A=\dfrac12\cdot9\cdot12=54$. Совпало.