Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00041816

Треугольник $ABC$ равнобедренный, высоты проведены к боковым сторонам, значит, боковые стороны — $AB$ и $BC$: $AB=BC$, а $AC$ — основание. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот $H$ и $T$ лежат на сторонах $BC$ и $AB$.

Пункт а. Докажем, что $EH\parallel AB$.

Прямая $CT$ перпендикулярна $AB$. Поэтому достаточно доказать, что $HE\perp CT$, то есть что угол $HEC$ прямой: две прямые, перпендикулярные одной прямой $CT$, параллельны.

Шаг 1. Углы $AMH$ и $AKH$ прямые, поэтому точки $M$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $AH$. Во вписанном четырёхугольнике $AMHK$ углы $HKM$ и $HAM$ опираются на одну дугу $HM$, значит,

$$\angle HKM=\angle HAM=\angle HAB=90^{\circ}-\angle ABC$$

(последнее — из прямоугольного треугольника $ABH$).

Шаг 2. Из прямоугольного треугольника $BTC$: $\angle BCT=90^{\circ}-\angle ABC$. Точки $H$ и $E$ лежат на лучах $CB$ и $CT$, поэтому $\angle HCE=\angle BCT=90^{\circ}-\angle ABC$.

Шаг 3. Получили $\angle HKE=\angle HCE$: из точек $K$ и $C$, лежащих по одну сторону от прямой $HE$, отрезок $HE$ виден под одинаковыми углами. Значит, точки $H$, $E$, $K$, $C$ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Углы $HEC$ и $HKC$ этой окружности опираются на одну дугу $HC$, поэтому $\angle HEC=\angle HKC=90^{\circ}$ (ведь $HK\perp AC$).

Итак, $HE\perp CT$ и $AB\perp CT$, откуда $EH\parallel AB$. Доказано.

Пункт б. Найдём $ME$ при $AB=17$ и $AC=16$.

У четырёхугольника $HMTE$ углы при $M$, $T$ и $E$ прямые: $HM\perp AB$, $CT\perp AB$, $HE\perp CT$. Значит, это прямоугольник, а диагонали прямоугольника равны: $ME=HT$.

Найдём $HT$. Углы $ATC$ и $AHC$ прямые, поэтому точки $T$ и $H$ лежат на окружности с диаметром $AC$, и четырёхугольник $ATHC$ вписанный. Тогда внешний угол $BTH$ равен внутреннему противоположному углу $BCA$, и треугольники $BTH$ и $BCA$ подобны по двум углам (угол $B$ общий):

$$\dfrac{HT}{AC}=\dfrac{BH}{BA}.$$

Косинус угла $B$ найдём по теореме косинусов в треугольнике $ABC$:

$$\cos B=\dfrac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{289+289-256}{2\cdot 289}=\dfrac{322}{578}=\dfrac{161}{289}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH=AB\cos B=17\cdot\dfrac{161}{289}=\dfrac{161}{17}$.

Подставляем в пропорцию:

$$HT=AC\cdot\dfrac{BH}{AB}=16\cdot\dfrac{161}{17\cdot 17}=\dfrac{2576}{289}.$$

Значит, $ME=HT=\dfrac{2576}{289}\approx 8{,}91$.

Проверим $BH$ другим путём: $CH=AC\cos C$, а $\cos C=\dfrac{AC/2}{BC}=\dfrac{8}{17}$, поэтому $CH=\dfrac{128}{17}$ и $BH=17-\dfrac{128}{17}=\dfrac{161}{17}$. Сходится.