Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022400

а) Диагональ $BD$ делит трапецию на треугольники $ABD$ и $BCD$. По условию первый равнобедренный с основанием $AD$, значит равны его боковые стороны: $AB=BD$. Второй равнобедренный с основанием $CD$, значит $BC=BD$. Отсюда сразу $AB=BC=BD$.

Раз $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle BAC=\angle BCA$. Но $BC\parallel AD$ (это основания трапеции), а $AC$ — секущая, поэтому $\angle BCA=\angle CAD$ как накрест лежащие. Складываем вывод: $\angle BAC=\angle CAD$. А это и значит, что $AC$ делит угол $BAD$ пополам, то есть является его биссектрисой. Доказано.

б) Из пункта а) $AB=BC=BD=6{,}5$, а $AC=12$. Поставим координаты: $A(0;0)$, $D(d;0)$, а $B(b;h)$, $C(c;h)$ на высоте $h$ (ведь $BC\parallel AD$).

$AB=BD$ означает $b^2+h^2=(d-b)^2+h^2$, откуда $d=2b$. Далее: из $AB=6{,}5$ имеем $h^2=42{,}25-b^2$; из $BC=6{,}5$ — $c=b+6{,}5$; из $AC=12$ — $c^2+h^2=144$. Подставляем: $(b+6{,}5)^2+42{,}25-b^2=144$, то есть $13b+84{,}5=144$, откуда $b=\dfrac{119}{26}$.

Осталось найти $CD$. Так как $d=2b$, то $c-d=c-2b=6{,}5-b=\dfrac{25}{13}$, а $h^2=42{,}25-b^2=\dfrac{14400}{676}$. Тогда $CD^2=(c-d)^2+h^2=\left(\dfrac{25}{13}\right)^2+\dfrac{14400}{676}=\dfrac{2500+14400}{676}=\dfrac{16900}{676}=25$, значит $CD=5$. Всё сходится.