а) Диагональ BD делит трапецию на треугольники ABD и BCD. По условию первый равнобедренный с основанием AD, значит равны его боковые стороны: AB=BD. Второй равнобедренный с основанием CD, значит BC=BD. Отсюда сразу AB=BC=BD.

Раз AB=BC, треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны: \angle BAC=\angle BCA. Но BC\parallel AD (это основания трапеции), а AC — секущая, поэтому \angle BCA=\angle CAD как накрест лежащие. Складываем вывод: \angle BAC=\angle CAD. А это и значит, что AC делит угол BAD пополам, то есть является его биссектрисой. Доказано.

б) Из пункта а) AB=BC=BD=6{,}5, а AC=12. Поставим координаты: A(0;0), D(d;0), а B(b;h), C(c;h) на высоте h (ведь BC\parallel AD).

AB=BD означает b^2+h^2=(d-b)^2+h^2, откуда d=2b. Далее: из AB=6{,}5 имеем h^2=42{,}25-b^2; из BC=6{,}5 — c=b+6{,}5; из AC=12 — c^2+h^2=144. Подставляем: (b+6{,}5)^2+42{,}25-b^2=144, то есть 13b+84{,}5=144, откуда b=\dfrac{119}{26}.

Осталось найти CD. Так как d=2b, то c-d=c-2b=6{,}5-b=\dfrac{25}{13}, а h^2=42{,}25-b^2=\dfrac{14400}{676}. Тогда CD^2=(c-d)^2+h^2=\left(\dfrac{25}{13}\right)^2+\dfrac{14400}{676}=\dfrac{2500+14400}{676}=\dfrac{16900}{676}=25, значит CD=5. Всё сходится.