Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042188

Сначала отметим, что даёт нам каждый квадрат. У квадрата $AKLC$ сторона $CL$ равна $CA$ и перпендикулярна ей; у квадрата $BPQC$ сторона $CQ$ равна $CB$ и перпендикулярна ей.

Пункт а. Докажем, что $LQ=2CM$.

В треугольнике $LCQ$ стороны $CL=CA$ и $CQ=CB$ — это стороны треугольника $ABC$. Чтобы сравнить $LQ$ с медианой, построим треугольник, в котором стороной будет $2CM$.

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ACBD$: точка $D$ симметрична $C$ относительно $M$. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому $CD=2CM$, а противоположные стороны равны: $AD=BC$.

Угол параллелограмма при вершине $A$ дополняет угол при вершине $C$ до $180^\circ$: $\angle CAD=180^\circ-\angle ACB$.

Угол $LCQ$ найдём, обойдя точку $C$: $\angle LCQ=360^\circ-\angle ACL-\angle BCQ-\angle ACB=180^\circ-\angle ACB$ (квадраты внешние, углы $ACL$ и $BCQ$ прямые).

Треугольники $LCQ$ и $CAD$: $LC=CA$, $CQ=CB=AD$, $\angle LCQ=\angle CAD$. По первому признаку они равны, значит, $LQ=CD=2CM$. Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от $M$ до центра $O$ квадрата $AKLC$ при $AC=7$, $BC=33$, $\angle ACB=150^\circ$.

Центр $O$ квадрата — середина диагонали $AL$, точка $M$ — середина $AB$. Запишем это векторами:

$$\vec{MO}=\dfrac{\vec{A}+\vec{L}}{2}-\dfrac{\vec{A}+\vec{B}}{2}=\dfrac{\vec{L}-\vec{B}}{2}=\dfrac12\vec{BL}.$$

Значит, $MO=\dfrac{BL}{2}$ (это средняя линия треугольника $ABL$).

Угол $BCL$: точки $B$ и $L$ лежат по разные стороны от $AC$, поэтому $\angle BCL=360^\circ-150^\circ-90^\circ=120^\circ$. По теореме косинусов в треугольнике $BCL$ ($CL=7$, $CB=33$):

$$BL^2=7^2+33^2-2\cdot7\cdot33\cdot\left(-\dfrac12\right)=49+1089+231=1369,\qquad BL=37.$$

$$MO=\dfrac{37}{2}=18{,}5.$$

Проверим себя координатами. $C(0;0)$, $A(7;0)$, $B\left(-\dfrac{33\sqrt3}{2};\,\dfrac{33}{2}\right)$, квадрат внешний: $L(0;-7)$, $O(3{,}5;-3{,}5)$, $M\left(3{,}5-\dfrac{33\sqrt3}{4};\,\dfrac{33}{4}\right)$. Тогда $MO^2=\left(\dfrac{33\sqrt3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{47}{4}\right)^2=\dfrac{3267+2209}{16}=\dfrac{5476}{16}$, $MO=\dfrac{74}{4}=\dfrac{37}{2}$. Совпало.