Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042187

Квадраты строятся так: $AKLC$ — со сторонами $AK$, $KL$, $LC$, $CA$, поэтому $CL=CA$ и $CL\perp CA$; $BPQC$ — со сторонами $BP$, $PQ$, $QC$, $CB$, поэтому $CQ=CB$ и $CQ\perp CB$.

Пункт а. Докажем, что $LQ=2CM$.

Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на её длину: отметим точку $D$ так, что $MD=CM$. Тогда $CD=2CM$.

В четырёхугольнике $ACBD$ диагонали $AB$ и $CD$ точкой $M$ делятся пополам, значит, это параллелограмм. Поэтому $AD=CB=CQ$ и $AD\parallel CB$, а углы $CAD$ и $ACB$ в сумме дают $180^\circ$ (односторонние углы): $\angle CAD=180^\circ-\angle ACB$.

Вокруг точки $C$ сходятся четыре угла: $\angle ACB$, два прямых угла квадратов $\angle ACL$ и $\angle BCQ$ и угол $LCQ$. Квадраты построены с внешней стороны, поэтому

$$\angle LCQ=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle ACB=180^\circ-\angle ACB=\angle CAD.$$

Треугольники $CAD$ и $LCQ$ равны по двум сторонам и углу между ними: $CA=LC$, $AD=CQ$, $\angle CAD=\angle LCQ$. Значит, $LQ=CD=2CM$. Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от $M$ до центра $O$ квадрата $AKLC$ при $AC=14$, $BC=16$, $\angle ACB=150^\circ$.

Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей, поэтому $O$ — середина диагонали $AL$.

В треугольнике $ABL$ точка $M$ — середина стороны $AB$, а $O$ — середина стороны $AL$. Значит, $MO$ — средняя линия, и она равна половине третьей стороны: $MO=\dfrac{BL}{2}$.

Найдём $BL$ из треугольника $BCL$. Здесь $CL=CA=14$, $CB=16$. Квадрат построен с внешней стороны, поэтому точки $B$ и $L$ лежат по разные стороны от прямой $AC$, и вокруг точки $C$:

$$\angle BCL=360^\circ-\angle ACB-\angle ACL=360^\circ-150^\circ-90^\circ=120^\circ.$$

По теореме косинусов, учитывая $\cos120^\circ=-\dfrac12$:

$$BL^2=14^2+16^2-2\cdot14\cdot16\cdot\left(-\dfrac12\right)=196+256+224=676,\qquad BL=26.$$

Тогда $MO=\dfrac{26}{2}=13$.

Проверим себя координатами. Пусть $C(0;0)$, $A(14;0)$, $B(16\cos150^\circ;\,16\sin150^\circ)=(-8\sqrt3;\,8)$. Квадрат внешний, поэтому он лежит ниже оси абсцисс: $L(0;-14)$, центр $O(7;-7)$. Середина $AB$: $M(7-4\sqrt3;\,4)$. Тогда $MO^2=(4\sqrt3)^2+11^2=48+121=169$, $MO=13$. Совпало.