Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042196

Сначала поймём, где лежат точки. $D$ — середина $BC$, точка $E$ — на медиане $AD$, $F$ — середина $BE$. Прямая $CF$ пересекает медиану в точке $G$ между $E$ и $D$. Главное — найти, в каком отношении $G$ делит отрезок $ED$.

Пункт а. Докажем, что $AE:ED=1:3$.

Пусть $H$ — середина отрезка $ED$. Тогда $FH$ — средняя линия треугольника $BED$: $FH\parallel BD$ и $FH=\dfrac12BD=\dfrac12DC$.

Прямые $FH$ и $DC$ параллельны, поэтому треугольники $GFH$ и $GCD$ подобны (вертикальные углы при $G$ и накрест лежащие углы). Коэффициент подобия $\dfrac{FH}{CD}=\dfrac12$, значит, $GH=\dfrac12GD$.

Тогда $HD=HG+GD=\dfrac32GD$, то есть $GD=\dfrac23HD=\dfrac13ED$ и $EG=\dfrac23ED$.

Выразим площадь $EFG$ через площадь $ABC$. Треугольники $EFG$ и $EBD$ имеют общий угол при вершине $E$, поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$$\dfrac{S_{EFG}}{S_{EBD}}=\dfrac{EF}{EB}\cdot\dfrac{EG}{ED}=\dfrac12\cdot\dfrac23=\dfrac13.$$

Треугольники $EBD$ и $ABD$ имеют общую высоту из вершины $B$, поэтому $S_{EBD}=\dfrac{ED}{AD}\cdot S_{ABD}$. Медиана $AD$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие части: $S_{ABD}=\dfrac12S_{ABC}$. Итак,

$$S_{EFG}=\dfrac13\cdot\dfrac{ED}{AD}\cdot\dfrac12S_{ABC}=\dfrac16\cdot\dfrac{ED}{AD}\cdot S_{ABC}.$$

По условию $S_{EFG}=\dfrac18S_{ABC}$:

$$\dfrac16\cdot\dfrac{ED}{AD}=\dfrac18\ \Rightarrow\ \dfrac{ED}{AD}=\dfrac68=\dfrac34.$$

Значит, $AE=\dfrac14AD$, $ED=\dfrac34AD$, и $AE:ED=1:3$. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь $BDGF$ при $BC=3\sqrt{29}$, $AB=7$, $AC=10$.

Площадь треугольника $ABC$ найдём через угол $A$. По теореме косинусов:

$$\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{49+100-261}{140}=-\dfrac{112}{140}=-\dfrac45.$$

Синус угла треугольника положителен: $\sin A=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac35$. Тогда

$$S_{ABC}=\dfrac12\cdot7\cdot10\cdot\dfrac35=21.$$

Четырёхугольник $BDGF$ — это треугольник $BED$ без треугольника $EFG$, поэтому $S_{BDGF}=S_{EBD}-S_{EFG}=\dfrac23S_{EBD}$. А $S_{EBD}=\dfrac{ED}{AD}\cdot\dfrac12S_{ABC}=\dfrac34\cdot\dfrac{21}{2}=\dfrac{63}{8}$.

$$S_{BDGF}=\dfrac23\cdot\dfrac{63}{8}=\dfrac{21}{4}.$$

Проверим себя. По пункту а $S_{EFG}=\dfrac{21}{8}$, и $S_{EBD}-S_{EFG}=\dfrac{63}{8}-\dfrac{21}{8}=\dfrac{42}{8}=\dfrac{21}{4}$. Численная проверка в координатах ($B(0;0)$, $C(3\sqrt{29};0)$, точка $A$ по сторонам 7 и 10) даёт $S_{ABC}=21$ и $S_{BDGF}=5{,}25$. Совпало.