Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042195

Точки $P$ и $Q$ делят диагональ $LN$ на три равные части, а прямая $LM$ параллельна стороне $KN$.

Пункт а. Докажем, что $LR:RT=1:3$.

При пересечении параллельных прямых $LM$ и $KN$ секущими $LN$ и $KR$ получаются подобные треугольники $LPR$ и $NPK$ (вертикальные углы при $P$ и накрест лежащие углы при $L$ и $N$). Отсюда

$$\dfrac{LR}{NK}=\dfrac{LP}{PN}=\dfrac12,\qquad LR=\dfrac12KN.$$

Аналогично подобны треугольники $LQT$ и $NQK$, и здесь большая сторона у треугольника с вершиной $L$:

$$\dfrac{LT}{NK}=\dfrac{LQ}{QN}=2,\qquad LT=2KN.$$

Точки $R$ и $T$ лежат на луче $LM$, поэтому $RT=LT-LR=\dfrac32KN$ и $LR:RT=1:3$. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь параллелограмма, если площадь пятиугольника $PRMSQ$ равна 8.

Из пункта а: $LR=\dfrac12LM$ — точка $R$ середина $LM$; $LT=2LM$ — точка $M$ середина отрезка $LT$, $MT=KN$.

Прямая $KQ$ выходит из вершины $K$, так что вторично она пересекает сторону $MN$. Треугольники $SMT$ и $SNK$ подобны ($MT\parallel KN$), а $MT=KN$, поэтому $SM=SN$: $S$ — середина $MN$.

Пусть площадь параллелограмма $X$, а его высота, опущенная на $KN$, равна $h$; тогда $X=KN\cdot h$. Заметим, что точка $P$ лежит на отрезке $KR$, а точка $Q$ — на отрезке $KS$. Поэтому четырёхугольник $KRMS$ складывается из треугольника $KPQ$ и пятиугольника $PRMSQ$.

Площадь $KRMS$ найдём, отрезав от параллелограмма треугольники $KLR$ и $KSN$:

$$S_{KLR}=\dfrac12\cdot LR\cdot h=\dfrac12\cdot\dfrac{KN}{2}\cdot h=\dfrac X4,\qquad S_{KSN}=\dfrac12\cdot KN\cdot\dfrac h2=\dfrac X4,$$

так как расстояние от середины $S$ стороны $MN$ до прямой $KN$ равно половине высоты. Значит, $S_{KRMS}=X-\dfrac X4-\dfrac X4=\dfrac X2$.

Треугольник $KPQ$ и треугольник $KLN$ имеют общую вершину $K$, а их основания $PQ$ и $LN$ лежат на одной прямой, причём $PQ=\dfrac13LN$. Поэтому $S_{KPQ}=\dfrac13S_{KLN}=\dfrac13\cdot\dfrac X2=\dfrac X6$.

$$S_{PRMSQ}=\dfrac X2-\dfrac X6=\dfrac X3.$$

По условию $\dfrac X3=8$, то есть $X=24$.

Проверим себя другим разбиением: пятиугольник — это треугольник $LMN$ площади $\dfrac X2$ без треугольников $LPR$ и $NQS$. Каждый из них по формуле площадей треугольников с общим углом составляет $\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac16$ от $S_{LMN}$. Получаем $\dfrac X2\cdot\dfrac23=\dfrac X3$, и при $X=24$ площадь пятиугольника равна 8. Совпало.