Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042186

$CD$ — боковая сторона, поэтому основания трапеции $AD$ и $BC$, $AD\parallel BC$.

Пункт а. Докажем, что треугольники $ALB$ и $CKB$ подобны.

Обозначим $\angle ADB=\delta$. Так как $BD$ — биссектриса, $\angle BDC=\delta$. Углы $ADB$ и $DBC$ накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $BD$, поэтому $\angle DBC=\delta$. В треугольнике $BCD$ два угла равны, значит, $BC=CD$, а с учётом условия $BC=CD=AC$.

Треугольник $ACD$ равнобедренный ($CA=CD$), углы при основании $AD$ равны: $\angle CAD=\angle CDA=2\delta$.

Углы $CAD$ и $ACB$ накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AC$, поэтому $\angle ACB=2\delta$.

Треугольник $ABC$ равнобедренный ($CA=CB$), его угол при основании

$$\angle ABC=\dfrac{180^\circ-2\delta}{2}=90^\circ-\delta.$$

Этот угол острый, поэтому основание $L$ высоты из точки $A$ лежит на луче $BC$ и $\angle ABL=\angle ABC=90^\circ-\delta$. В прямоугольном треугольнике $ALB$ второй острый угол $\angle BAL=90^\circ-(90^\circ-\delta)=\delta$.

В равнобедренном треугольнике $BCD$ перпендикуляр $CK$ к основанию попадает на отрезок $BD$, поэтому $\angle CBK=\angle CBD=\delta$.

Прямоугольные треугольники $ALB$ и $CKB$ имеют равные острые углы $\angle BAL=\angle CBK=\delta$, значит, они подобны. Доказано.

Пункт б. Найдём $AB$ при $BD=35\sqrt2$ и $AC=25$.

Из пункта а $BC=CD=25$. Высота $CK$ равнобедренного треугольника $BCD$ является медианой: $BK=\dfrac{35\sqrt2}{2}$.

По теореме Пифагора в треугольнике $CKB$:

$$CK=\sqrt{25^2-\left(\dfrac{35\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{625-612{,}5}=\sqrt{12{,}5}=\dfrac{5\sqrt2}{2}.$$

Отсюда $\sin\delta=\dfrac{CK}{BC}=\dfrac{5\sqrt2}{2\cdot25}=\dfrac{\sqrt2}{10}$.

Треугольник $ABC$ равнобедренный с боковыми сторонами $CA=CB=25$ и углом при основании $90^\circ-\delta$. Основание равно удвоенной проекции боковой стороны:

$$AB=2\cdot CB\cdot\cos(90^\circ-\delta)=2\cdot25\cdot\sin\delta=50\cdot\dfrac{\sqrt2}{10}=5\sqrt2.$$

Проверим себя координатами. Пусть $C(0;0)$, $B(25;0)$, $D(x;y)$: $x^2+y^2=625$ и $(x-25)^2+y^2=2450$. Вычитая, $-50x+625=1825$, $x=-24$, $y=7$. Точка $A$ лежит на окружности радиуса 25 с центром $C$ на прямой $y=7$, значит, $A(24;7)$. Тогда $AB=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$. Совпало.